Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zaddcllempos GIF version

 Description: Lemma for zaddcl 8341. Special case in which 𝑁 is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zaddcllempos ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5547 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + 1))
21eleq1d 2122 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 1) ∈ ℤ))
32imbi2d 223 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)))
4 oveq2 5547 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + 𝑦))
54eleq1d 2122 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ))
65imbi2d 223 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ)))
7 oveq2 5547 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + (𝑦 + 1)))
87eleq1d 2122 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
98imbi2d 223 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
10 oveq2 5547 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + 𝑁))
1110eleq1d 2122 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
1211imbi2d 223 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)))
13 peano2z 8337 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
14 peano2z 8337 . . . . . 6 ((𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑦) + 1) ∈ ℤ)
15 zcn 8306 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1615adantl 266 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
17 nncn 7997 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
1817adantr 265 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
19 1cnd 7100 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
2016, 18, 19addassd 7106 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑦) + 1) = (𝑀 + (𝑦 + 1)))
2120eleq1d 2122 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝑦) + 1) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
2214, 21syl5ib 147 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
2322ex 112 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
2423a2d 26 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
253, 6, 9, 12, 13, 24nnind 8005 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
2625impcom 120 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  (class class class)co 5539  ℂcc 6944  1c1 6947   + caddc 6949  ℕcn 7989  ℤcz 8301 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302 This theorem is referenced by:  zaddcl  8341
 Copyright terms: Public domain W3C validator