Theorem eqvrelcoss3 35868

Description: Two ways to express equivalent cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelcoss3	⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem eqvrelcoss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcoss 35683	. . 3 ⊢ Rel ≀ 𝑅
2	1	biantru 532	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ↔ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
3		refrelcosslem 35717	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥
4		symrelcoss3 35720	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ Rel ≀ 𝑅)
5	4	simpli 486	. . 3 ⊢ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥)
6	3, 5	triantru3 35515	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)))
7		dfeqvrel3 35841	. 2 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ((∀𝑥 ∈ dom ≀ 𝑅𝑥 ≀ 𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≀ 𝑅𝑦 → 𝑦 ≀ 𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
8	2, 6, 7	3bitr4ri 306	1 ⊢ ( EqvRel ≀ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥 ≀ 𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑅𝑧) → 𝑥 ≀ 𝑅𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083  ∀wal 1535  ∀wral 3138   class class class wbr 5066  dom cdm 5555  Rel wrel 5560   ≀ ccoss 35468   EqvRel weqvrel 35485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5067  df-opab 5129  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-coss 35674  df-refrel 35767  df-symrel 35795  df-trrel 35825  df-eqvrel 35835

This theorem is referenced by:  eqvrelcoss2  35869  eqvrelcoss4  35870