Theorem eqvreleq 35870

Description: Equality theorem for equivalence relation. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Apr-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreleq	⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( EqvRel 𝑅 ↔ EqvRel 𝑆))

Proof of Theorem eqvreleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refreleq 35793	. . 3 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( RefRel 𝑅 ↔ RefRel 𝑆))
2		symreleq 35827	. . 3 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( SymRel 𝑅 ↔ SymRel 𝑆))
3		trreleq 35851	. . 3 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( TrRel 𝑅 ↔ TrRel 𝑆))
4	1, 2, 3	3anbi123d 1431	. 2 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ ( RefRel 𝑆 ∧ SymRel 𝑆 ∧ TrRel 𝑆)))
5		df-eqvrel 35853	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅))
6		df-eqvrel 35853	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑆 ↔ ( RefRel 𝑆 ∧ SymRel 𝑆 ∧ TrRel 𝑆))
7	4, 5, 6	3bitr4g 316	1 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ( EqvRel 𝑅 ↔ EqvRel 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   RefRel wrefrel 35492   SymRel wsymrel 35498   TrRel wtrrel 35501   EqvRel weqvrel 35503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pr 5323

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ral 3142  df-rex 3143  df-rab 3146  df-v 3493  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5060  df-opab 5122  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-refrel 35785  df-symrel 35813  df-trrel 35843  df-eqvrel 35853

This theorem is referenced by:  eqvreleqi  35871  eqvreleqd  35872  erALTVeq1  35936