Theorem reuss2 4283

Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuss2	⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem reuss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3144	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
2		df-reu 3145	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))
3	1, 2	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
4		df-ral 3143	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)))
5		ssel 3961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
6		pm3.2 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝜓 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
7	6	imim2d 57	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝜑 → 𝜓) → (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))))
8	5, 7	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) → (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))))
9	8	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))))
10	9	imp4a 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))))
11	10	alimdv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)) → ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))))
12	11	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))) → ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
13	4, 12	sylan2b 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) → ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
14		euimmo 2700	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)) → (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) → (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
16		df-eu 2654	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
17	16	simplbi2 503	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
18	15, 17	syl9 77	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))))
19	18	imp32 421	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))) → ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
20		df-reu 3145	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
21	19, 20	sylibr 236	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
22	3, 21	sylan2b 595	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398  ∀wal 1535  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2620  ∃!weu 2653  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ∃!wreu 3140   ⊆ wss 3936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-in 3943  df-ss 3952

This theorem is referenced by:  reuss  4284  reuun1  4285  riotass2  7144