Theorem ssdifsn 4351

Description: Subset of a set with an element removed. (Contributed by Emmett Weisz, 7-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssdifsn	⊢ (𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ssdifsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3625	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}))
2		eldifsn 4350	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))
3	2	ralbii 3009	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))
4	1, 3	bitri 264	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))
5		r19.26 3093	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶))
6	4, 5	bitri 264	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶))
7		dfss3 3625	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	bicomi 214	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵)
9		neirr 2832	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐶 ≠ 𝐶
10		neeq1 2885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐶))
11	10	rspccv 3337	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ≠ 𝐶))
12	9, 11	mtoi 190	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
13		nelelne 2921	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≠ 𝐶))
14	13	ralrimiv 2994	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶)
15	12, 14	impbii 199	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
16	8, 15	anbi12i 733	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴))
17	6, 16	bitri 264	1 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  {csn 4210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-v 3233  df-dif 3610  df-in 3614  df-ss 3621  df-sn 4211

This theorem is referenced by:  logdivsqrle  30856  elsetrecslem  42770