Theorem xp0r 4842

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xp0r	|- ((/) X. A) = (/)

Proof of Theorem xp0r

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4801	. . 3 |- (z e. ((/) X. A) <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)))
2		noel 3554	. . . . . . 7 |- -. x e. (/)
3		simprl 732	. . . . . . 7 |- ((z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)) -> x e. (/))
4	2, 3	mto 167	. . . . . 6 |- -. (z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
5	4	nex 1555	. . . . 5 |- -. E.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
6	5	nex 1555	. . . 4 |- -. E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
7		noel 3554	. . . 4 |- -. z e. (/)
8	6, 7	2false 339	. . 3 |- (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)) <-> z e. (/))
9	1, 8	bitri 240	. 2 |- (z e. ((/) X. A) <-> z e. (/))
10	9	eqriv 2350	1 |- ((/) X. A) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  (/)c0 3550  <.cop 4561   X. cxp 4770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565  df-op 4566  df-opab 4623  df-xp 4784

This theorem is referenced by:  dmxpid  4924  res0  4977  xp0  5044  xpnz  5045  xpdisj1  5047  xpcan2  5058