Theorem xp0r 4843

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xp0r	⊢ (∅ × A) = ∅

Proof of Theorem xp0r

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4802	. . 3 ⊢ (z ∈ (∅ × A) ↔ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A)))
2		noel 3555	. . . . . . 7 ⊢ ¬ x ∈ ∅
3		simprl 732	. . . . . . 7 ⊢ ((z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A)) → x ∈ ∅)
4	2, 3	mto 167	. . . . . 6 ⊢ ¬ (z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A))
5	4	nex 1555	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A))
6	5	nex 1555	. . . 4 ⊢ ¬ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A))
7		noel 3555	. . . 4 ⊢ ¬ z ∈ ∅
8	6, 7	2false 339	. . 3 ⊢ (∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A)) ↔ z ∈ ∅)
9	1, 8	bitri 240	. 2 ⊢ (z ∈ (∅ × A) ↔ z ∈ ∅)
10	9	eqriv 2350	1 ⊢ (∅ × A) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∅c0 3551  ⟨cop 4562   × cxp 4771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-phi 4566  df-op 4567  df-opab 4624  df-xp 4785

This theorem is referenced by:  dmxpid  4925  res0  4978  xp0  5045  xpnz  5046  xpdisj1  5048  xpcan2  5059