Theorem merco1lem14 1495

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 1478. (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
merco1lem14	⊢ ((((φ → ψ) → ψ) → χ) → (φ → χ))

Proof of Theorem merco1lem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco1lem13 1494	. . . 4 ⊢ ((((φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ)) → (φ → ((φ → ψ) → ψ)))
2		merco1lem8 1489	. . . . . 6 ⊢ (((((φ → ((φ → ψ) → ψ)) → φ) → (((((φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ)) → (φ → ((φ → ψ) → ψ))) → ⊥ )) → φ) → (((φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ)))
3		merco1 1478	. . . . . 6 ⊢ ((((((φ → ((φ → ψ) → ψ)) → φ) → (((((φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ)) → (φ → ((φ → ψ) → ψ))) → ⊥ )) → φ) → (((φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ))) → (((((φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ)) → (φ → ((φ → ψ) → ψ))) → (((((φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ)) → (φ → ((φ → ψ) → ψ))) → (φ → ((φ → ψ) → ψ)))))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((((φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ)) → (φ → ((φ → ψ) → ψ))) → (((((φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ)) → (φ → ((φ → ψ) → ψ))) → (φ → ((φ → ψ) → ψ))))
5		merco1lem9 1490	. . . . 5 ⊢ ((((((φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ)) → (φ → ((φ → ψ) → ψ))) → (((((φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ)) → (φ → ((φ → ψ) → ψ))) → (φ → ((φ → ψ) → ψ)))) → (((((φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ)) → (φ → ((φ → ψ) → ψ))) → (φ → ((φ → ψ) → ψ))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((((φ → ψ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((φ → ψ) → ψ)) → (φ → ((φ → ψ) → ψ))) → (φ → ((φ → ψ) → ψ)))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (φ → ((φ → ψ) → ψ))
8		merco1lem12 1493	. . 3 ⊢ ((φ → ((φ → ψ) → ψ)) → ((((χ → φ) → (φ → ⊥ )) → φ) → ((φ → ψ) → ψ)))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((((χ → φ) → (φ → ⊥ )) → φ) → ((φ → ψ) → ψ))
10		merco1 1478	. 2 ⊢ (((((χ → φ) → (φ → ⊥ )) → φ) → ((φ → ψ) → ψ)) → ((((φ → ψ) → ψ) → χ) → (φ → χ)))
11	9, 10	ax-mp 5	1 ⊢ ((((φ → ψ) → ψ) → χ) → (φ → χ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ⊥ wfal 1317

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-tru 1319  df-fal 1320

This theorem is used by:  merco1lem15  1496  retbwax1  1500