Theorem merco1lem17 1498

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 1478. (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
merco1lem17	⊢ (((((φ → ψ) → φ) → χ) → τ) → ((φ → χ) → τ))

Proof of Theorem merco1lem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco1lem11 1492	. . . . . 6 ⊢ ((((φ → ψ) → φ) → φ) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ))
2		merco1lem7 1487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ) → φ) → (((((φ → ψ) → φ) → φ) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ)) → ⊥ )) → φ) → (((φ → ψ) → φ) → φ))
3		merco1 1478	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ) → φ) → (((((φ → ψ) → φ) → φ) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ)) → ⊥ )) → φ) → (((φ → ψ) → φ) → φ)) → (((((φ → ψ) → φ) → φ) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ)) → (((((φ → ψ) → φ) → φ) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ)) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ))))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((((φ → ψ) → φ) → φ) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ)) → (((((φ → ψ) → φ) → φ) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ)) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ)))
5		merco1lem9 1490	. . . . . . 7 ⊢ ((((((φ → ψ) → φ) → φ) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ)) → (((((φ → ψ) → φ) → φ) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ)) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ))) → (((((φ → ψ) → φ) → φ) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ)) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((((φ → ψ) → φ) → φ) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ)) → ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ))
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ)
8		merco1 1478	. . . . 5 ⊢ (((((χ → φ) → (((φ → ψ) → φ) → ⊥ )) → ⊥ ) → φ) → ((φ → χ) → (((φ → ψ) → φ) → χ)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((φ → χ) → (((φ → ψ) → φ) → χ))
10		merco1lem11 1492	. . . . . 6 ⊢ (((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (φ → χ)) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ)))
11		merco1lem7 1487	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ)) → φ) → ((((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (φ → χ)) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ))) → ⊥ )) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (φ → χ)))
12		merco1 1478	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ)) → φ) → ((((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (φ → χ)) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ))) → ⊥ )) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (φ → χ))) → ((((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (φ → χ)) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ))) → ((((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (φ → χ)) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ))) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ)))))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (φ → χ)) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ))) → ((((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (φ → χ)) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ))) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ))))
14		merco1lem9 1490	. . . . . . 7 ⊢ (((((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (φ → χ)) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ))) → ((((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (φ → χ)) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ))) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ)))) → ((((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (φ → χ)) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ))) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ))))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (φ → χ)) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ))) → (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ)))
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ))
17		merco1 1478	. . . . 5 ⊢ ((((((((φ → ψ) → φ) → χ) → φ) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → ⊥ )) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (((φ → χ) → (((φ → ψ) → φ) → χ)) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (((φ → ψ) → φ) → χ))))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((φ → χ) → (((φ → ψ) → φ) → χ)) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (((φ → ψ) → φ) → χ)))
19	9, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (((φ → ψ) → φ) → χ))
20		merco1lem4 1484	. . 3 ⊢ ((((τ → φ) → ((φ → χ) → ⊥ )) → χ) → (((φ → χ) → ⊥ ) → χ))
21		merco1lem16 1497	. . 3 ⊢ (((((φ → χ) → ⊥ ) → (φ → χ)) → (((φ → ψ) → φ) → χ)) → ((((φ → χ) → ⊥ ) → χ) → (((φ → ψ) → φ) → χ)))
22	19, 20, 21	mpsyl 59	. 2 ⊢ ((((τ → φ) → ((φ → χ) → ⊥ )) → χ) → (((φ → ψ) → φ) → χ))
23		merco1 1478	. 2 ⊢ (((((τ → φ) → ((φ → χ) → ⊥ )) → χ) → (((φ → ψ) → φ) → χ)) → (((((φ → ψ) → φ) → χ) → τ) → ((φ → χ) → τ)))
24	22, 23	ax-mp 5	1 ⊢ (((((φ → ψ) → φ) → χ) → τ) → ((φ → χ) → τ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ⊥ wfal 1317

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-tru 1319  df-fal 1320

This theorem is used by:  merco1lem18  1499