Theorem 1strbas 12061

Description: The base set of a constructed one-slot structure. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
1str.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩}

Assertion

Ref	Expression
1strbas	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem 1strbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseslid 12018	. 2 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
2		1str.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩}
3		basendxnn 12017	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
4		opexg 4150	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
5	3, 4	mpan 420	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
6		snexg 4108	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩} ∈ V)
8	2, 7	eqeltrid 2226	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
9		funsng 5169	. . . 4 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
10	3, 9	mpan 420	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
11	2	funeqi 5144	. . 3 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
12	10, 11	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → Fun 𝐺)
13		snidg 3554	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
14	5, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
15	14, 2	eleqtrrdi 2233	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺)
16	1, 8, 12, 15	strslfvd 12003	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686  {csn 3527  ⟨cop 3530  Fun wfun 5117  ‘cfv 5123  ℕcn 8723  ndxcnx 11959  Basecbs 11962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1re 7717  ax-addrcl 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-inn 8724  df-ndx 11965  df-slot 11966  df-base 11968

This theorem is referenced by: (None)