ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absle Unicode version

Theorem absle 9916
Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )

Proof of Theorem absle
StepHypRef Expression
1 simpll 489 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  e.  RR )
21renegcld 7450 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  e.  RR )
31recnd 7113 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  e.  CC )
4 abscl 9878 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
53, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
6 simplr 490 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  B  e.  RR )
7 leabs 9901 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  RR  ->  -u A  <_  ( abs `  -u A
) )
82, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  ( abs `  -u A ) )
9 absneg 9877 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
103, 9syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  -u A
)  =  ( abs `  A ) )
118, 10breqtrd 3816 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  ( abs `  A ) )
12 simpr 107 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( abs `  A
)  <_  B )
132, 5, 6, 11, 12letrd 7199 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  -> 
-u A  <_  B
)
14 leabs 9901 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( abs `  A
) )
1514ad2antrr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  <_  ( abs `  A ) )
161, 5, 6, 15, 12letrd 7199 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  A  <_  B )
1713, 16jca 294 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( abs `  A
)  <_  B )  ->  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B
) )
18 simpll 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  A  e.  RR )
19 simplr 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  B  e.  RR )
2018recnd 7113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  A  e.  CC )
2120, 4syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
22 axltwlin 7146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( abs `  A )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  ( abs `  A
)  ->  ( B  <  A  \/  A  < 
( abs `  A
) ) ) )
2319, 21, 18, 22syl3anc 1146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  -> 
( B  <  A  \/  A  <  ( abs `  A ) ) ) )
24 simprr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  A  <_  B )
2518, 19lenltd 7193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2624, 25mpbid 139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  -.  B  <  A )
27 pm2.53 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  <  A  \/  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( -.  B  <  A  ->  A  <  ( abs `  A
) ) )
2823, 26, 27syl6ci 1350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  ->  A  <  ( abs `  A
) ) )
29 simpl 106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  e.  RR )
3029recnd 7113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  e.  CC )
3130, 9syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
3229renegcld 7450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  -u A  e.  RR )
33 0red 7086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  0  e.  RR )
34 ltabs 9914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  <  0 )
3529, 33, 34ltled 7194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  A  <_  0 )
3629le0neg1d 7583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
3735, 36mpbid 139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  0  <_ 
-u A )
38 absid 9898 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  ->  ( abs `  -u A
)  =  -u A
)
3932, 37, 38syl2anc 397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( abs `  -u A )  = 
-u A )
4031, 39eqtr3d 2090 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  ( abs `  A
) )  ->  ( abs `  A )  = 
-u A )
4118, 28, 40syl6an 1339 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
) )
42 simprl 491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  -u A  <_  B )
43 breq1 3795 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  =  -u A  ->  (
( abs `  A
)  <_  B  <->  -u A  <_  B ) )
4442, 43syl5ibrcom 150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( ( abs `  A
)  =  -u A  ->  ( abs `  A
)  <_  B )
)
4541, 44syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  -> 
( abs `  A
)  <_  B )
)
4621, 19lenltd 7193 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( ( abs `  A
)  <_  B  <->  -.  B  <  ( abs `  A
) ) )
4745, 46sylibd 142 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( B  <  ( abs `  A )  ->  -.  B  <  ( abs `  A ) ) )
4847pm2.01d 558 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  ->  -.  B  <  ( abs `  A ) )
4948, 46mpbird 160 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) )  -> 
( abs `  A
)  <_  B )
5017, 49impbida 538 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B ) ) )
51 lenegcon1 7535 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u A  <_  B 
<-> 
-u B  <_  A
) )
5251anbi1d 446 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u A  <_  B  /\  A  <_  B )  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
5350, 52bitrd 181 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <_  B  <->  ( -u B  <_  A  /\  A  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    = wceq 1259    e. wcel 1409   class class class wbr 3792   ` cfv 4930   CCcc 6945   RRcr 6946   0cc0 6947    < clt 7119    <_ cle 7120   -ucneg 7246   abscabs 9824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061  ax-caucvg 7062
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-4 8051  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-rp 8682  df-iseq 9376  df-iexp 9420  df-cj 9670  df-re 9671  df-im 9672  df-rsqrt 9825  df-abs 9826
This theorem is referenced by:  absdifle  9920  lenegsq  9922  abs2difabs  9935  abslei  9966  absled  10002
  Copyright terms: Public domain W3C validator