ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  acexmidlem2 Unicode version

Theorem acexmidlem2 5537
Description: Lemma for acexmid 5539. This builds on acexmidlem1 5536 by noting that every element of  C is inhabited.

(Note that  y is not quite a function in the df-fun 4932 sense because it uses ordered pairs as described in opthreg 4308 rather than df-op 3412).

The set  A is also found in onsucelsucexmidlem 4282.

(Contributed by Jim Kingdon, 5-Aug-2019.)

Hypotheses
Ref Expression
acexmidlem.a  |-  A  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
acexmidlem.b  |-  B  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
acexmidlem.c  |-  C  =  { A ,  B }
Assertion
Ref Expression
acexmidlem2  |-  ( A. z  e.  C  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, w, v, u, A   
x, B, y, z, w, v, u    x, C, y, z, w, v, u    ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlem2
StepHypRef Expression
1 df-ral 2328 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. w ( w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
2 19.23v 1779 . . . . 5  |-  ( A. w ( w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )  <->  ( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
31, 2bitr2i 178 . . . 4  |-  ( ( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )  <->  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )
4 acexmidlem.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  { A ,  B }
54eleq2i 2120 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  C  <->  z  e.  { A ,  B }
)
6 vex 2577 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
76elpr 3424 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { A ,  B }  <->  ( z  =  A  \/  z  =  B ) )
85, 7bitri 177 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  C  <->  ( z  =  A  \/  z  =  B ) )
9 onsucelsucexmidlem1 4281 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( x  =  (/)  \/ 
ph ) }
10 acexmidlem.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
119, 10eleqtrri 2129 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  A
12 elex2 2587 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  A  ->  E. w  w  e.  A )
1311, 12ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  E. w  w  e.  A
14 eleq2 2117 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  A  ->  (
w  e.  z  <->  w  e.  A ) )
1514exbidv 1722 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  ( E. w  w  e.  z 
<->  E. w  w  e.  A ) )
1613, 15mpbiri 161 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  E. w  w  e.  z )
17 p0ex 3967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { (/) }  e.  _V
1817prid2 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
19 eqid 2056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { (/) }  =  { (/) }
2019orci 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
(/) }  =  { (/)
}  \/  ph )
21 eqeq1 2062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( x  =  { (/) }  <->  { (/) }  =  { (/)
} ) )
2221orbi1d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( x  =  { (/)
}  \/  ph )  <->  ( { (/) }  =  { (/)
}  \/  ph )
) )
2322elrab 2721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
(/) }  e.  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }  <->  ( { (/)
}  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  ( { (/) }  =  { (/)
}  \/  ph )
) )
2418, 20, 23mpbir2an 860 . . . . . . . . . . 11  |-  { (/) }  e.  { x  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
25 acexmidlem.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
2624, 25eleqtrri 2129 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  B
27 elex2 2587 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
(/) }  e.  B  ->  E. w  w  e.  B )
2826, 27ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  E. w  w  e.  B
29 eleq2 2117 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  B  ->  (
w  e.  z  <->  w  e.  B ) )
3029exbidv 1722 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  ( E. w  w  e.  z 
<->  E. w  w  e.  B ) )
3128, 30mpbiri 161 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  E. w  w  e.  z )
3216, 31jaoi 646 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  A  \/  z  =  B )  ->  E. w  w  e.  z )
338, 32sylbi 118 . . . . . 6  |-  ( z  e.  C  ->  E. w  w  e.  z )
34 pm2.27 39 . . . . . 6  |-  ( E. w  w  e.  z  ->  ( ( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
3533, 34syl 14 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  ->  (
( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
)  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
3635imp 119 . . . 4  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( E. w  w  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )
373, 36sylan2br 276 . . 3  |-  ( ( z  e.  C  /\  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
)  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )
3837ralimiaa 2400 . 2  |-  ( A. z  e.  C  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
) )
3910, 25, 4acexmidlem1 5536 . 2  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
4038, 39syl 14 1  |-  ( A. z  e.  C  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    \/ wo 639   A.wal 1257    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324   E!wreu 2325   {crab 2327   (/)c0 3252   {csn 3403   {cpr 3404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-uni 3609  df-tr 3883  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iota 4895  df-riota 5496
This theorem is referenced by:  acexmidlemv  5538
  Copyright terms: Public domain W3C validator