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Theorem bccl 9861
Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bccl |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )
Proof of Theorem bccl
Dummy variables k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5571 . . . . 5 |- ( m = 0 -> ( m _C k ) = ( 0 _C k ) )
21eleq1d 2151 . . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( 0 _C k ) e. NN0 ) )
32ralbidv 2373 . . 3 |- ( m = 0 -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( 0 _C k ) e. NN0 ) )
4 oveq1 5571 . . . . 5 |- ( m = n -> ( m _C k ) = ( n _C k ) )
54eleq1d 2151 . . . 4 |- ( m = n -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( n _C k ) e. NN0 ) )
65ralbidv 2373 . . 3 |- ( m = n -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 ) )
7 oveq1 5571 . . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m _C k ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
87eleq1d 2151 . . . 4 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
98ralbidv 2373 . . 3 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
10 oveq1 5571 . . . . 5 |- ( m = N -> ( m _C k ) = ( N _C k ) )
1110eleq1d 2151 . . . 4 |- ( m = N -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( N _C k ) e. NN0 ) )
1211ralbidv 2373 . . 3 |- ( m = N -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 ) )
13 elfz1eq 9200 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> k = 0 )
1413adantl 271 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ k e. ( 0 ... 0 ) ) -> k = 0 )
15 oveq2 5572 . . . . . . 7 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) = ( 0 _C 0 ) )
16 0nn0 8440 . . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
17 bcn0 9849 . . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 -> ( 0 _C 0 ) = 1 )
1816, 17ax-mp 7 . . . . . . . 8 |- ( 0 _C 0 ) = 1
19 1nn0 8441 . . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
2018, 19eqeltri 2155 . . . . . . 7 |- ( 0 _C 0 ) e. NN0
2115, 20syl6eqel 2173 . . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
2214, 21syl 14 . . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
23 bcval3 9845 . . . . . . 7 |- ( ( 0 e. NN0 /\ k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
2416, 23mp3an1 1256 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
2524, 16syl6eqel 2173 . . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
26 0zd 8514 . . . . . 6 |- ( k e. ZZ -> 0 e. ZZ )
27 fzdcel 9205 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID k e. ( 0 ... 0 ) )
28 exmiddc 778 . . . . . . 7 |- (DECID k e. ( 0 ... 0 ) -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
2927, 28syl 14 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
3026, 26, 29mpd3an23 1271 . . . . 5 |- ( k e. ZZ -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
3122, 25, 30mpjaodan 745 . . . 4 |- ( k e. ZZ -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
3231rgen 2421 . . 3 |- A. k e. ZZ ( 0 _C k ) e. NN0
33 oveq2 5572 . . . . . 6 |- ( k = m -> ( n _C k ) = ( n _C m ) )
3433eleq1d 2151 . . . . 5 |- ( k = m -> ( ( n _C k ) e. NN0 <-> ( n _C m ) e. NN0 ) )
3534cbvralv 2582 . . . 4 |- ( A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 <-> A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 )
36 bcpasc 9860 . . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
3736adantlr 461 . . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
38 oveq2 5572 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( n _C m ) = ( n _C k ) )
3938eleq1d 2151 . . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( ( n _C m ) e. NN0 <-> ( n _C k ) e. NN0 ) )
4039rspccva 2709 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( n _C k ) e. NN0 )
41 peano2zm 8540 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
42 oveq2 5572 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( n _C m ) = ( n _C ( k - 1 ) ) )
4342eleq1d 2151 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( n _C m ) e. NN0 <-> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 ) )
4443rspccva 2709 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
4541, 44sylan2 280 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
4640, 45nn0addcld 8482 . . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) e. NN0 )
4746adantll 460 . . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) e. NN0 )
4837, 47eqeltrrd 2160 . . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 )
4948ralrimiva 2439 . . . . 5 |- ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 )
5049ex 113 . . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
5135, 50syl5bi 150 . . 3 |- ( n e. NN0 -> ( A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
523, 6, 9, 12, 32, 51nn0ind 8612 . 2 |- ( N e. NN0 -> A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 )
53 oveq2 5572 . . . 4 |- ( k = K -> ( N _C k ) = ( N _C K ) )
5453eleq1d 2151 . . 3 |- ( k = K -> ( ( N _C k ) e. NN0 <-> ( N _C K ) e. NN0 ) )
5554rspccva 2709 . 2 |- ( ( A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )
5652, 55sylan 277 1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 662  DECID wdc 776   /\ w3a 920   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2353  (class class class)co 5564   0cc0 7113   1c1 7114   + caddc 7116   - cmin 7416   NN0cn0 8425   ZZcz 8502   ...cfz 9175   _C cbc 9841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-q 8856  df-rp 8886  df-fz 9176  df-iseq 9592  df-fac 9820  df-bc 9842
This theorem is referenced by:  bccl2  9862  bcn2m1  9863  bcn2p1  9864
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