Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climsqz2 Unicode version

Theorem climsqz2 10301
 Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climsqz.5
climsqz.6
climsqz.7
climsqz2.8
climsqz2.9
Assertion
Ref Expression
climsqz2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem climsqz2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . . . 5
2 climadd.2 . . . . . 6
32adantr 270 . . . . 5
4 simpr 108 . . . . 5
5 eqidd 2083 . . . . 5
6 climadd.4 . . . . . 6
76adantr 270 . . . . 5
81, 3, 4, 5, 7climi2 10254 . . . 4
91uztrn2 8706 . . . . . . . 8
10 climsqz.7 . . . . . . . . . . . 12
11 climsqz.6 . . . . . . . . . . . 12
121, 2, 6, 11climrecl 10289 . . . . . . . . . . . . 13
1312adantr 270 . . . . . . . . . . . 12
14 climsqz2.8 . . . . . . . . . . . 12
1510, 11, 13, 14lesub1dd 7717 . . . . . . . . . . 11
16 climsqz2.9 . . . . . . . . . . . 12
1713, 10, 16abssubge0d 10189 . . . . . . . . . . 11
1813, 10, 11, 16, 14letrd 7289 . . . . . . . . . . . 12
1913, 11, 18abssubge0d 10189 . . . . . . . . . . 11
2015, 17, 193brtr4d 3817 . . . . . . . . . 10
2120adantlr 461 . . . . . . . . 9
2210adantlr 461 . . . . . . . . . . . . 13
2312ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23resubcld 7541 . . . . . . . . . . . 12
2524recnd 7198 . . . . . . . . . . 11
2625abscld 10194 . . . . . . . . . 10
2711adantlr 461 . . . . . . . . . . . . 13
2827, 23resubcld 7541 . . . . . . . . . . . 12
2928recnd 7198 . . . . . . . . . . 11
3029abscld 10194 . . . . . . . . . 10
31 rpre 8810 . . . . . . . . . . 11
3231ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10
33 lelttr 7255 . . . . . . . . . 10
3426, 30, 32, 33syl3anc 1170 . . . . . . . . 9
3521, 34mpand 420 . . . . . . . 8
369, 35sylan2 280 . . . . . . 7
3736anassrs 392 . . . . . 6
3837ralimdva 2430 . . . . 5
3938reximdva 2464 . . . 4
408, 39mpd 13 . . 3
4140ralrimiva 2435 . 2
42 climsqz.5 . . 3
43 eqidd 2083 . . 3
4412recnd 7198 . . 3
4510recnd 7198 . . 3
461, 2, 42, 43, 44, 45clim2c 10250 . 2
4741, 46mpbird 165 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wceq 1285   wcel 1434  wral 2349  wrex 2350   class class class wbr 3787  cfv 4926  (class class class)co 5537  cr 7031   clt 7204   cle 7205   cmin 7335  cz 8421  cuz 8689  crp 8804  cabs 10010   cli 10244 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145  ax-arch 7146  ax-caucvg 7147 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-if 3354  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-2 8154  df-3 8155  df-4 8156  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-rp 8805  df-iseq 9511  df-iexp 9562  df-cj 9856  df-re 9857  df-im 9858  df-rsqrt 10011  df-abs 10012  df-clim 10245 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator