Theorem ctssexmid 7024

Description: The decidability condition in ctssdc 6998 is needed. More specifically, ctssdc 6998 minus that condition, plus the Limited Principle of Omniscience (LPO), implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctssexmid.1	|- ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) -> E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) )
ctssexmid.lpo	|- om e. Omni

Assertion

Ref	Expression
ctssexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, f, x, y

Proof of Theorem ctssexmid

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3182	. . 3 |- { z e. om | ph } C_ om
2		f1oi 5405	. . . 4 |- ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -1-1-onto-> { z e. om | ph }
3		f1ofo 5374	. . . 4 |- ( ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -1-1-onto-> { z e. om | ph } -> ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } )
4		ctssexmid.lpo	. . . . . . . 8 |- om e. Omni
5	4	elexi 2698	. . . . . . 7 |- om e. _V
6	5	rabex 4072	. . . . . 6 |- { z e. om | ph } e. _V
7		resiexg 4864	. . . . . 6 |- ( { z e. om | ph } e. _V -> ( _I |` { z e. om | ph } ) e. _V )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( _I |` { z e. om | ph } ) e. _V
9		foeq1 5341	. . . . 5 |- ( f = ( _I |` { z e. om | ph } ) -> ( f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } <-> ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) )
10	8, 9	spcev 2780	. . . 4 |- ( ( _I |` { z e. om | ph } ) : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } -> E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } )
11	2, 3, 10	mp2b 8	. . 3 |- E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph }
12		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> y = { z e. om | ph } )
13	12	sseq1d 3126	. . . . . 6 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( y C_ om <-> { z e. om | ph } C_ om ) )
14		eqidd 2140	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> f = f )
15		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> x = { z e. om | ph } )
16	14, 12, 15	foeq123d 5361	. . . . . . 7 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( f : y -onto-> x <-> f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) )
17	16	exbidv 1797	. . . . . 6 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( E. f f : y -onto-> x <-> E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) )
18	13, 17	anbi12d 464	. . . . 5 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) <-> ( { z e. om | ph } C_ om /\ E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) ) )
19		djueq1 6925	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. om | ph } -> ( x ⊔ 1o ) = ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) )
20		foeq3 5343	. . . . . . 7 |- ( ( x ⊔ 1o ) = ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> ( f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) )
21	15, 19, 20	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) )
22	21	exbidv 1797	. . . . 5 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) )
23	18, 22	imbi12d 233	. . . 4 |- ( ( x = { z e. om | ph } /\ y = { z e. om | ph } ) -> ( ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) -> E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) ) <-> ( ( { z e. om | ph } C_ om /\ E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) -> E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) ) ) )
24		ctssexmid.1	. . . 4 |- ( ( y C_ om /\ E. f f : y -onto-> x ) -> E. f f : om -onto-> ( x ⊔ 1o ) )
25	6, 6, 23, 24	vtocl2 2741	. . 3 |- ( ( { z e. om | ph } C_ om /\ E. f f : { z e. om | ph } -onto-> { z e. om | ph } ) -> E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) )
26	1, 11, 25	mp2an 422	. 2 |- E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o )
27	4	a1i 9	. . . 4 |- ( f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> om e. Omni )
28		id 19	. . . 4 |- ( f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) )
29	27, 28	fodjuomni 7021	. . 3 |- ( f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> ( E. w w e. { z e. om | ph } \/ { z e. om | ph } = (/) ) )
30	29	exlimiv 1577	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( { z e. om | ph } ⊔ 1o ) -> ( E. w w e. { z e. om | ph } \/ { z e. om | ph } = (/) ) )
31		biidd 171	. . . . . 6 |- ( z = w -> ( ph <-> ph ) )
32	31	elrab 2840	. . . . 5 |- ( w e. { z e. om | ph } <-> ( w e. om /\ ph ) )
33	32	simprbi 273	. . . 4 |- ( w e. { z e. om | ph } -> ph )
34	33	exlimiv 1577	. . 3 |- ( E. w w e. { z e. om | ph } -> ph )
35		rabeq0 3392	. . . 4 |- ( { z e. om | ph } = (/) <-> A. z e. om -. ph )
36		peano1 4508	. . . . 5 |- (/) e. om
37		elex2 2702	. . . . 5 |- ( (/) e. om -> E. u u e. om )
38		r19.3rmv 3453	. . . . 5 |- ( E. u u e. om -> ( -. ph <-> A. z e. om -. ph ) )
39	36, 37, 38	mp2b 8	. . . 4 |- ( -. ph <-> A. z e. om -. ph )
40	35, 39	sylbb2 137	. . 3 |- ( { z e. om | ph } = (/) -> -. ph )
41	34, 40	orim12i 748	. 2 |- ( ( E. w w e. { z e. om | ph } \/ { z e. om | ph } = (/) ) -> ( ph \/ -. ph ) )
42	26, 30, 41	mp2b 8	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   {crab 2420   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   (/)c0 3363   _I cid 4210   omcom 4504   |` cres 4541   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   1oc1o 6306   ⊔ cdju 6922  Omnicomni 7004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-omni 7006

This theorem is referenced by: (None)