Theorem peano1 4508

Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
peano1	|- (/) e. om

Proof of Theorem peano1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4055	. . . 4 |- (/) e. _V
2	1	elint 3777	. . 3 |- ( (/) e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> A. z ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> (/) e. z ) )
3		df-clab 2126	. . . 4 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) )
4		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> (/) e. y )
5	4	sbimi 1737	. . . . 5 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> [ z / y ] (/) e. y )
6		clelsb4 2245	. . . . 5 |- ( [ z / y ] (/) e. y <-> (/) e. z )
7	5, 6	sylib 121	. . . 4 |- ( [ z / y ] ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> (/) e. z )
8	3, 7	sylbi 120	. . 3 |- ( z e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> (/) e. z )
9	2, 8	mpgbir 1429	. 2 |- (/) e. |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
10		dfom3 4506	. 2 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
11	9, 10	eleqtrri 2215	1 |- (/) e. om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   [wsb 1735   {cab 2125   A.wral 2416   (/)c0 3363   |^|cint 3771   suc csuc 4287   omcom 4504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-nul 4054

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-dif 3073  df-nul 3364  df-int 3772  df-iom 4505

This theorem is referenced by:  peano5  4512  limom  4527  nnregexmid  4534  omsinds  4535  nnpredcl  4536  frec0g  6294  frecabcl  6296  frecrdg  6305  oa1suc  6363  nna0r  6374  nnm0r  6375  nnmcl  6377  nnmsucr  6384  1onn  6416  nnm1  6420  nnaordex  6423  nnawordex  6424  php5  6752  php5dom  6757  0fin  6778  findcard2  6783  findcard2s  6784  infm  6798  inffiexmid  6800  0ct  6992  ctmlemr  6993  ctssdclemn0  6995  ctssdc  6998  omct  7002  fodjum  7018  fodju0  7019  ctssexmid  7024  1lt2pi  7148  nq0m0r  7264  nq0a0  7265  prarloclem5  7308  frec2uzrand  10178  frecuzrdg0  10186  frecuzrdg0t  10195  frecfzennn  10199  0tonninf  10212  1tonninf  10213  hashinfom  10524  hashunlem  10550  hash1  10557  ennnfonelemj0  11914  ennnfonelem1  11920  ennnfonelemhf1o  11926  ennnfonelemhom  11928  bj-nn0suc  13162  bj-nn0sucALT  13176  pwle2  13193  pwf1oexmid  13194  subctctexmid  13196  peano3nninf  13201  nninfall  13204  nninfsellemdc  13206  nninfsellemeq  13210  nninffeq  13216  isomninnlem  13225