ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano1 Unicode version

Theorem peano1 4337
Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1  |-  (/)  e.  om

Proof of Theorem peano1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3907 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
21elint 3644 . . 3  |-  ( (/)  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  <->  A. z
( z  e.  {
y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  (/)  e.  z ) )
3 df-clab 2069 . . . 4  |-  ( z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  <->  [ z  /  y ] (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) )
4 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  ->  (/)  e.  y )
54sbimi 1688 . . . . 5  |-  ( [ z  /  y ] ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  ->  [ z  /  y ] (/)  e.  y )
6 clelsb4 2185 . . . . 5  |-  ( [ z  /  y ]
(/)  e.  y  <->  (/)  e.  z )
75, 6sylib 120 . . . 4  |-  ( [ z  /  y ] ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y )  ->  (/)  e.  z )
83, 7sylbi 119 . . 3  |-  ( z  e.  { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }  ->  (/)  e.  z )
92, 8mpgbir 1383 . 2  |-  (/)  e.  |^| { y  |  ( (/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }
10 dfom3 4335 . 2  |-  om  =  |^| { y  |  (
(/)  e.  y  /\  A. x  e.  y  suc  x  e.  y ) }
119, 10eleqtrri 2155 1  |-  (/)  e.  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   [wsb 1686   {cab 2068   A.wral 2349   (/)c0 3252   |^|cint 3638   suc csuc 4122   omcom 4333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-nul 3906
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-dif 2976  df-nul 3253  df-int 3639  df-iom 4334
This theorem is referenced by:  peano5  4341  limom  4356  nnregexmid  4362  frec0g  6040  frecabcl  6042  frecrdg  6051  oa1suc  6105  nna0r  6115  nnm0r  6116  nnmcl  6118  nnmsucr  6125  1onn  6152  nnm1  6156  nnaordex  6159  nnawordex  6160  php5  6383  php5dom  6388  0fin  6408  findcard2  6413  findcard2s  6414  infm  6422  1lt2pi  6581  nq0m0r  6697  nq0a0  6698  prarloclem5  6741  frec2uzrand  9476  frecuzrdg0  9484  frecuzrdg0t  9493  frecfzennn  9497  sizeinf  9791  sizeunlem  9817  size1  9824  bj-nn0suc  10902  bj-nn0sucALT  10916
  Copyright terms: Public domain W3C validator