Theorem djudom 6978

Description: Dominance law for disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djudom	|- ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )

Proof of Theorem djudom

Dummy variables f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6643	. . 3 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )
2	1	adantr 274	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) -> E. f f : A -1-1-> B )
3		brdomi 6643	. . . 4 |- ( C ~<_ D -> E. g g : C -1-1-> D )
4	3	ad2antlr 480	. . 3 |- ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) -> E. g g : C -1-1-> D )
5		inlresf1 6946	. . . . . . . . 9 |- (inl |` B ) : B -1-1-> ( B ⊔ D )
6		simplr 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> f : A -1-1-> B )
7		f1co 5340	. . . . . . . . 9 |- ( ( (inl |` B ) : B -1-1-> ( B ⊔ D ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( (inl |` B ) o. f ) : A -1-1-> ( B ⊔ D ) )
8	5, 6, 7	sylancr 410	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inl |` B ) o. f ) : A -1-1-> ( B ⊔ D ) )
9		inrresf1 6947	. . . . . . . . 9 |- (inr |` D ) : D -1-1-> ( B ⊔ D )
10		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> g : C -1-1-> D )
11		f1co 5340	. . . . . . . . 9 |- ( ( (inr |` D ) : D -1-1-> ( B ⊔ D ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inr |` D ) o. g ) : C -1-1-> ( B ⊔ D ) )
12	9, 10, 11	sylancr 410	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inr |` D ) o. g ) : C -1-1-> ( B ⊔ D ) )
13		rnco 5045	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( (inl |` B ) o. f ) = ran ( (inl |` B ) |` ran f )
14		f1rn 5329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : A -1-1-> B -> ran f C_ B )
15	14	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran f C_ B )
16		resabs1 4848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran f C_ B -> ( (inl |` B ) |` ran f ) = (inl |` ran f ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inl |` B ) |` ran f ) = (inl |` ran f ) )
18	17	rneqd 4768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inl |` B ) |` ran f ) = ran (inl |` ran f ) )
19	13, 18	syl5eq 2184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inl |` B ) o. f ) = ran (inl |` ran f ) )
20		rnco 5045	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( (inr |` D ) o. g ) = ran ( (inr |` D ) |` ran g )
21		f1rn 5329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : C -1-1-> D -> ran g C_ D )
22		resabs1 4848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran g C_ D -> ( (inr |` D ) |` ran g ) = (inr |` ran g ) )
23	10, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( (inr |` D ) |` ran g ) = (inr |` ran g ) )
24	23	rneqd 4768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inr |` D ) |` ran g ) = ran (inr |` ran g ) )
25	20, 24	syl5eq 2184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ran ( (inr |` D ) o. g ) = ran (inr |` ran g ) )
26	19, 25	ineq12d 3278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( ran ( (inl |` B ) o. f ) i^i ran ( (inr |` D ) o. g ) ) = ( ran (inl |` ran f ) i^i ran (inr |` ran g ) ) )
27		djuinr 6948	. . . . . . . . 9 |- ( ran (inl |` ran f ) i^i ran (inr |` ran g ) ) = (/)
28	26, 27	syl6eq 2188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( ran ( (inl |` B ) o. f ) i^i ran ( (inr |` D ) o. g ) ) = (/) )
29	8, 12, 28	casef1 6975	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) )
30		f1f 5328	. . . . . . 7 |- (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) --> ( B ⊔ D ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) --> ( B ⊔ D ) )
32		reldom 6639	. . . . . . . . 9 |- Rel ~<_
33	32	brrelex1i 4582	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
34	33	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> A e. _V )
35	32	brrelex1i 4582	. . . . . . . 8 |- ( C ~<_ D -> C e. _V )
36	35	ad3antlr 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> C e. _V )
37		djuex 6928	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V ) -> ( A ⊔ C ) e. _V )
38	34, 36, 37	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( A ⊔ C ) e. _V )
39		fex 5647	. . . . . 6 |- ( (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) --> ( B ⊔ D ) /\ ( A ⊔ C ) e. _V ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) e. _V )
40	31, 38, 39	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) e. _V )
41		f1eq1 5323	. . . . . 6 |- ( h = case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) -> ( h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) <-> case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
42	41	spcegv 2774	. . . . 5 |- (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) e. _V -> (case ( ( (inl |` B ) o. f ) , ( (inr |` D ) o. g ) ) : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) -> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
43	40, 29, 42	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) )
44	32	brrelex2i 4583	. . . . . 6 |- ( A ~<_ B -> B e. _V )
45	44	ad3antrrr 483	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> B e. _V )
46	32	brrelex2i 4583	. . . . . 6 |- ( C ~<_ D -> D e. _V )
47	46	ad3antlr 484	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> D e. _V )
48		djuex 6928	. . . . . 6 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> ( B ⊔ D ) e. _V )
49		brdomg 6642	. . . . . 6 |- ( ( B ⊔ D ) e. _V -> ( ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) <-> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
50	48, 49	syl 14	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> ( ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) <-> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
51	45, 47, 50	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) <-> E. h h : ( A ⊔ C ) -1-1-> ( B ⊔ D ) ) )
52	43, 51	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) /\ g : C -1-1-> D ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )
53	4, 52	exlimddv 1870	. 2 |- ( ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )
54	2, 53	exlimddv 1870	1 |- ( ( A ~<_ B /\ C ~<_ D ) -> ( A ⊔ C ) ~<_ ( B ⊔ D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   class class class wbr 3929   ran crn 4540   |` cres 4541   o. ccom 4543   -->wf 5119   -1-1->wf1 5120   ~<_ cdom 6633   ⊔ cdju 6922  inlcinl 6930  inrcinr 6931  casecdjucase 6968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-dom 6636  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7058  exmidfodomrlemrALT  7059  sbthom  13221