Theorem dmcoss 4650

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmcoss	|- dom ( A o. B ) C_ dom B

Proof of Theorem dmcoss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1426	. . . 4 |- F/ y E. y x B y
2		exsimpl 1549	. . . . 5 |- ( E. z ( x B z /\ z A y ) -> E. z x B z )
3		vex 2613	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2613	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	opelco 4556	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) <-> E. z ( x B z /\ z A y ) )
6		breq2 3810	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x B y <-> x B z ) )
7	6	cbvexv 1838	. . . . 5 |- ( E. y x B y <-> E. z x B z )
8	2, 5, 7	3imtr4i 199	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
9	1, 8	exlimi 1526	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
10	3	eldm2 4582	. . 3 |- ( x e. dom ( A o. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) )
11	3	eldm 4581	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y x B y )
12	9, 10, 11	3imtr4i 199	. 2 |- ( x e. dom ( A o. B ) -> x e. dom B )
13	12	ssriv 3013	1 |- dom ( A o. B ) C_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 102   E.wex 1422   e. wcel 1434   C_ wss 2983   <.cop 3420   class class class wbr 3806   dom cdm 4392   o. ccom 4396

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-v 2612  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-br 3807  df-opab 3861  df-co 4401  df-dm 4402

This theorem is referenced by:  rncoss  4651  dmcosseq  4652  cossxp  4894  funco  4991  cofunexg  5790