Theorem eldm 4736

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldm	|- ( A e. dom B <-> E. y A B y )

Distinct variable groups:   y, A   y, B

Proof of Theorem eldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 |- A e. _V
2		eldmg 4734	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. dom B <-> E. y A B y ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. dom B <-> E. y A B y )

Syntax hints:   <-> wb 104   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   dom cdm 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-dm 4549

This theorem is referenced by:  dmi  4754  dmcoss  4808  dmcosseq  4810  dminss  4953  dmsnm  5004  dffun7  5150  dffun8  5151  fnres  5239  fndmdif  5525  reldmtpos  6150  dmtpos  6153  tfrexlem  6231