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Theorem funco 4968
Description: The composition of two functions is a function. Exercise 29 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 26-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
funco  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  Fun  ( F  o.  G ) )

Proof of Theorem funco
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmcoss 4629 . . . . 5  |-  dom  ( F  o.  G )  C_ 
dom  G
2 funmo 4945 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  E* y 
z F y )
32alrimiv 1770 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  A. z E* y  z F
y )
43ralrimivw 2410 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  A. x  e.  dom  G A. z E* y  z F
y )
5 dffun8 4957 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  <->  ( Rel  G  /\  A. x  e.  dom  G E! z  x G z ) )
65simprbi 264 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
G  ->  A. x  e.  dom  G E! z  x G z )
74, 6anim12ci 326 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( A. x  e.  dom  G E! z  x G z  /\  A. x  e. 
dom  G A. z E* y  z F
y ) )
8 r19.26 2458 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  <->  ( A. x  e.  dom  G E! z  x G z  /\  A. x  e. 
dom  G A. z E* y  z F
y ) )
97, 8sylibr 141 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F y ) )
10 nfv 1437 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x G z
1110euexex 2001 . . . . . . 7  |-  ( ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  ->  E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
1211ralimi 2401 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  ->  A. x  e.  dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
139, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
14 ssralv 3032 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  o.  G
)  C_  dom  G  -> 
( A. x  e. 
dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) ) )
151, 13, 14mpsyl 63 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
16 df-br 3793 . . . . . . 7  |-  ( x ( F  o.  G
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( F  o.  G )
)
17 df-co 4382 . . . . . . . 8  |-  ( F  o.  G )  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( x G z  /\  z F y ) }
1817eleq2i 2120 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  o.  G
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  E. z ( x G z  /\  z F y ) } )
19 opabid 4022 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( x G z  /\  z F y ) }  <->  E. z
( x G z  /\  z F y ) )
2016, 18, 193bitri 199 . . . . . 6  |-  ( x ( F  o.  G
) y  <->  E. z
( x G z  /\  z F y ) )
2120mobii 1953 . . . . 5  |-  ( E* y  x ( F  o.  G ) y  <->  E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
2221ralbii 2347 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y  <->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G
) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
2315, 22sylibr 141 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y )
24 relco 4847 . . 3  |-  Rel  ( F  o.  G )
2523, 24jctil 299 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( Rel  ( F  o.  G
)  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y ) )
26 dffun7 4956 . 2  |-  ( Fun  ( F  o.  G
)  <->  ( Rel  ( F  o.  G )  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G
) E* y  x ( F  o.  G
) y ) )
2725, 26sylibr 141 1  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  Fun  ( F  o.  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101   A.wal 1257   E.wex 1397    e. wcel 1409   E!weu 1916   E*wmo 1917   A.wral 2323    C_ wss 2945   <.cop 3406   class class class wbr 3792   {copab 3845   dom cdm 4373    o. ccom 4377   Rel wrel 4378   Fun wfun 4924
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-fun 4932
This theorem is referenced by:  fnco  5035  f1co  5129  tposfun  5906
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