Theorem dvfgg 12826

Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for S = RR and CC. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvfgg	|- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Proof of Theorem dvfgg

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnprss 12825	. . . . 5 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
2		reldvg 12817	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )
3	1, 2	sylan 281	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )
4		elpmi 6561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
5	4	simpld 111	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> F : dom F --> CC )
6	5	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> F : dom F --> CC )
7	6	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> F : dom F --> CC )
8	4	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> dom F C_ S )
9	8	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ S )
10	1	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S C_ CC )
11	9, 10	sstrd 3107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ CC )
12	11	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ CC )
13		eqid 2139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
14	13	cntoptopon 12701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
15		resttopon 12340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16	14, 15	mpan 420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
17		topontop 12181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
20		toponuni 12182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
21	16, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ CC -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
22	21	sseq2d 3127	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ CC -> ( dom F C_ S <-> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
23	10, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( dom F C_ S <-> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
24	9, 23	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
25		eqid 2139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
26	25	ntrss2 12290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
27	19, 24, 26	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
28	27	sselda 3097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. dom F )
29	7, 12, 28	dvlemap 12818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) /\ z e. { w e. dom F | w # x } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) e. CC )
30	29	fmpttd 5575	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) : { w e. dom F | w # x } --> CC )
31		ssrab2 3182	. . . . . . . . . 10 |- { w e. dom F | w # x } C_ dom F
32	31, 12	sstrid 3108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> { w e. dom F | w # x } C_ CC )
33	12, 28	sseldd 3098	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. CC )
34		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) )
35	27, 9	sstrd 3107	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S )
36	35	sselda 3097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. S )
37	19	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
38	24	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
39	25	ntropn 12286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
40	37, 38, 39	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
41		simpll 518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> S e. { RR , CC } )
42		rabss2 3180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
43	27, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
44	43	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
45	30, 32, 33, 34, 36, 40, 41, 44, 13	limcimo 12803	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
46	45	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
47		moanimv 2074	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
48	46, 47	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
49		eqid 2139	. . . . . . . 8 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
50		eqid 2139	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
51	49, 13, 50, 10, 6, 9	eldvap 12820	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x ( S _D F ) y <-> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
52	51	mobidv 2035	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( E* y x ( S _D F ) y <-> E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
53	48, 52	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> E* y x ( S _D F ) y )
54	53	alrimiv 1846	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> A. x E* y x ( S _D F ) y )
55		dffun6 5137	. . . 4 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( Rel ( S _D F ) /\ A. x E* y x ( S _D F ) y ) )
56	3, 54, 55	sylanbrc 413	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Fun ( S _D F ) )
57	56	funfnd 5154	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
58		vex 2689	. . . . 5 |- y e. _V
59	58	elrn 4782	. . . 4 |- ( y e. ran ( S _D F ) <-> E. x x ( S _D F ) y )
60	10, 6, 9	dvcl 12821	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
61	60	ex 114	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
62	61	exlimdv 1791	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( E. x x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
63	59, 62	syl5bi 151	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( y e. ran ( S _D F ) -> y e. CC ) )
64	63	ssrdv 3103	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ran ( S _D F ) C_ CC )
65		df-f 5127	. 2 |- ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> ( ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) /\ ran ( S _D F ) C_ CC ) )
66	57, 64, 65	sylanbrc 413	1 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   E*wmo 2000   {crab 2420   C_ wss 3071   {cpr 3528   U.cuni 3736   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   dom cdm 4539   ran crn 4540   o. ccom 4543   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ^pm cpm 6543   CCcc 7618   RRcr 7619   - cmin 7933   # cap 8343   / cdiv 8432   abscabs 10769   ↾_t crest 12120   MetOpencmopn 12154   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   intcnt 12262   lim CC climc 12792   _D cdv 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pm 6545  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-ntr 12265  df-limced 12794  df-dvap 12795

This theorem is referenced by:  dvfpm  12827  dvfcnpm  12828  dvaddxx  12836  dvmulxx  12837  dviaddf  12838  dvimulf  12839  dvmptclx  12849