Theorem topontop 12191

Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topontop	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Proof of Theorem topontop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 12190	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) <-> ( J e. Top /\ B = U. J ) )
2	1	simplbi 272	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   U.cuni 3736   ` cfv 5123   Topctop 12174  TopOnctopon 12187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topon 12188

This theorem is referenced by:  topontopi  12193  topontopon  12197  toponmax  12202  topgele  12206  istps  12209  topontopn  12214  resttopon  12350  resttopon2  12357  lmfval  12371  cnfval  12373  cnpfval  12374  cnprcl2k  12385  cnpf2  12386  tgcn  12387  tgcnp  12388  iscnp4  12397  cnntr  12404  cncnp  12409  cnptopresti  12417  txtopon  12441  txcnp  12450  txlm  12458  cnmpt2res  12476  mopntop  12623  metcnpi  12694  metcnpi3  12696  dvfvalap  12829  dvfgg  12836  dvaddxxbr  12844  dvmulxxbr  12845