Theorem elfzmlbp 9909

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbp	|- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfzmlbp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 9797	. . . 4 |- ( K e. ( M ... ( M + N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) )
2		znn0sub 9119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
3	2	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
4	3	biimpcd 158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M <_ K -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) e. NN0 ) )
5	4	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) e. NN0 ) )
6	5	impcom 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. NN0 )
7		zre 9058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
8	7	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> M e. RR )
9	8	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
10		zre 9058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
11	10	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. RR )
12	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> K e. RR )
13		zaddcl 9094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
14	13	adantlr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
15	14	zred 9173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. RR )
16		letr 7847	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> M <_ ( M + N ) ) )
17	9, 12, 15, 16	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> M <_ ( M + N ) ) )
18		zre 9058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
19		addge01 8234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> M <_ ( M + N ) ) )
20	8, 18, 19	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ N <-> M <_ ( M + N ) ) )
21		elnn0z 9067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
22	21	simplbi2 382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ N -> N e. NN0 ) )
23	22	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ N -> N e. NN0 ) )
24	20, 23	sylbird 169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ ( M + N ) -> N e. NN0 ) )
25	17, 24	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> N e. NN0 ) )
26	25	imp 123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> N e. NN0 )
27		df-3an 964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) )
28		3ancoma 969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
29	27, 28	bitr3i 185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
30	10, 7, 18	3anim123i 1166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
31	29, 30	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
32		lesubadd2 8197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( K - M ) <_ N <-> K <_ ( M + N ) ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( K - M ) <_ N <-> K <_ ( M + N ) ) )
34	33	biimprcd 159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K <_ ( M + N ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) <_ N ) )
35	34	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) <_ N ) )
36	35	impcom 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) <_ N )
37	6, 26, 36	3jca 1161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
38	37	exp31 361	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ZZ -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
39	38	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
40	39	3adant2 1000	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
41	40	imp 123	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
42	41	com12 30	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
43	1, 42	syl5bi 151	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( M ... ( M + N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
44	43	imp 123	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
45		elfz2nn0 9892	. 2 |- ( ( K - M ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
46	44, 45	sylibr 133	1 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   + caddc 7623   <_ cle 7801   - cmin 7933   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791

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