Theorem elxrge0 9761

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	|- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) )

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 964	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) <-> ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ A <_ +oo ) )
2		0xr 7812	. . 3 |- 0 e. RR*
3		pnfxr 7818	. . 3 |- +oo e. RR*
4		elicc1 9707	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) ) )
5	2, 3, 4	mp2an 422	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A /\ A <_ +oo ) )
6		pnfge 9575	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
7	6	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A <_ +oo )
8	7	pm4.71i 388	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) <-> ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ A <_ +oo ) )
9	1, 5, 8	3bitr4i 211	1 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   0cc0 7620   +oocpnf 7797   RR*cxr 7799   <_ cle 7801   [,]cicc 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717  ax-rnegex 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-icc 9678

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  9763  ge0xaddcl  9766  psmetxrge0  12501  isxmet2d  12517  comet  12668  bdxmet  12670