Theorem comet 12668

Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
comet.1	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
comet.2	|- ( ph -> F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
comet.3	|- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) )
comet.4	|- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] +oo ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
comet.5	|- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] +oo ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
comet	|- ( ph -> ( F o. D ) e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, F, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   X( x, y)

Proof of Theorem comet

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetrel 12512	. . . 4 |- Rel *Met
2		comet.1	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
3		relelfvdm 5453	. . . 4 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
4	1, 2, 3	sylancr 410	. . 3 |- ( ph -> X e. dom *Met )
5	4	elexd 2699	. 2 |- ( ph -> X e. _V )
6		comet.2	. . 3 |- ( ph -> F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
7		xmetf 12519	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
8	2, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
9	8	ffnd 5273	. . . 4 |- ( ph -> D Fn ( X X. X ) )
10		xmetcl 12521	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( a D b ) e. RR* )
11		xmetge0 12534	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> 0 <_ ( a D b ) )
12		elxrge0 9761	. . . . . . . 8 |- ( ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( a D b ) e. RR* /\ 0 <_ ( a D b ) ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 413	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
14	13	3expb 1182	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15	2, 14	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
16	15	ralrimivva 2514	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. X A. b e. X ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
17		ffnov 5875	. . . 4 |- ( D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( D Fn ( X X. X ) /\ A. a e. X A. b e. X ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
18	9, 16, 17	sylanbrc 413	. . 3 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
19		fco 5288	. . 3 |- ( ( F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* /\ D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F o. D ) : ( X X. X ) --> RR* )
20	6, 18, 19	syl2anc 408	. 2 |- ( ph -> ( F o. D ) : ( X X. X ) --> RR* )
21		opelxpi 4571	. . . . . 6 |- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> <. a , b >. e. ( X X. X ) )
22		fvco3 5492	. . . . . 6 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ <. a , b >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. a , b >. ) = ( F ` ( D ` <. a , b >. ) ) )
23	8, 21, 22	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. a , b >. ) = ( F ` ( D ` <. a , b >. ) ) )
24		df-ov 5777	. . . . 5 |- ( a ( F o. D ) b ) = ( ( F o. D ) ` <. a , b >. )
25		df-ov 5777	. . . . . 6 |- ( a D b ) = ( D ` <. a , b >. )
26	25	fveq2i 5424	. . . . 5 |- ( F ` ( a D b ) ) = ( F ` ( D ` <. a , b >. ) )
27	23, 24, 26	3eqtr4g 2197	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a ( F o. D ) b ) = ( F ` ( a D b ) ) )
28	27	eqeq1d 2148	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a ( F o. D ) b ) = 0 <-> ( F ` ( a D b ) ) = 0 ) )
29		fveq2 5421	. . . . . 6 |- ( x = ( a D b ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( a D b ) ) )
30	29	eqeq1d 2148	. . . . 5 |- ( x = ( a D b ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> ( F ` ( a D b ) ) = 0 ) )
31		eqeq1 2146	. . . . 5 |- ( x = ( a D b ) -> ( x = 0 <-> ( a D b ) = 0 ) )
32	30, 31	bibi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( a D b ) -> ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) <-> ( ( F ` ( a D b ) ) = 0 <-> ( a D b ) = 0 ) ) )
33		comet.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) )
34	33	ralrimiva 2505	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) )
35	34	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) )
36	32, 35, 15	rspcdva 2794	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F ` ( a D b ) ) = 0 <-> ( a D b ) = 0 ) )
37		xmeteq0 12528	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( ( a D b ) = 0 <-> a = b ) )
38	37	3expb 1182	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a D b ) = 0 <-> a = b ) )
39	2, 38	sylan 281	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a D b ) = 0 <-> a = b ) )
40	28, 36, 39	3bitrd 213	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a ( F o. D ) b ) = 0 <-> a = b ) )
41	6	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
42	15	3adantr3 1142	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43	41, 42	ffvelrnd 5556	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) e. RR* )
44	18	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
45		simpr3 989	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> c e. X )
46		simpr1 987	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> a e. X )
47	44, 45, 46	fovrnd 5915	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c D a ) e. ( 0 [,] +oo ) )
48		simpr2 988	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> b e. X )
49	44, 45, 48	fovrnd 5915	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
50		ge0xaddcl 9766	. . . . . 6 |- ( ( ( c D a ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( c D b ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
51	47, 49, 50	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52	41, 51	ffvelrnd 5556	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) e. RR* )
53	41, 47	ffvelrnd 5556	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( c D a ) ) e. RR* )
54	41, 49	ffvelrnd 5556	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( c D b ) ) e. RR* )
55	53, 54	xaddcld 9667	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) e. RR* )
56		3anrot 967	. . . . . . 7 |- ( ( c e. X /\ a e. X /\ b e. X ) <-> ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) )
57		xmettri2 12530	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( c e. X /\ a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
58	56, 57	sylan2br 286	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
59	2, 58	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
60		comet.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] +oo ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
61	60	ralrimivva 2514	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
62	61	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
63		breq1 3932	. . . . . . . 8 |- ( x = ( a D b ) -> ( x <_ y <-> ( a D b ) <_ y ) )
64	29	breq1d 3939	. . . . . . . 8 |- ( x = ( a D b ) -> ( ( F ` x ) <_ ( F ` y ) <-> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` y ) ) )
65	63, 64	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( x = ( a D b ) -> ( ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) <-> ( ( a D b ) <_ y -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` y ) ) ) )
66		breq2 3933	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( ( a D b ) <_ y <-> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
67		fveq2 5421	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
68	67	breq2d 3941	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` y ) <-> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
69	66, 68	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( ( ( a D b ) <_ y -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` y ) ) <-> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
70	65, 69	rspc2va 2803	. . . . . 6 |- ( ( ( ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) ) -> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
71	42, 51, 62, 70	syl21anc 1215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
72	59, 71	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
73		comet.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] +oo ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) )
74	73	ralrimivva 2514	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) )
75	74	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) )
76		fvoveq1 5797	. . . . . . 7 |- ( x = ( c D a ) -> ( F ` ( x +e y ) ) = ( F ` ( ( c D a ) +e y ) ) )
77		fveq2 5421	. . . . . . . 8 |- ( x = ( c D a ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( c D a ) ) )
78	77	oveq1d 5789	. . . . . . 7 |- ( x = ( c D a ) -> ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` y ) ) )
79	76, 78	breq12d 3942	. . . . . 6 |- ( x = ( c D a ) -> ( ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( ( c D a ) +e y ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` y ) ) ) )
80		oveq2 5782	. . . . . . . 8 |- ( y = ( c D b ) -> ( ( c D a ) +e y ) = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
81	80	fveq2d 5425	. . . . . . 7 |- ( y = ( c D b ) -> ( F ` ( ( c D a ) +e y ) ) = ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
82		fveq2 5421	. . . . . . . 8 |- ( y = ( c D b ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( c D b ) ) )
83	82	oveq2d 5790	. . . . . . 7 |- ( y = ( c D b ) -> ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
84	81, 83	breq12d 3942	. . . . . 6 |- ( y = ( c D b ) -> ( ( F ` ( ( c D a ) +e y ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) ) )
85	79, 84	rspc2va 2803	. . . . 5 |- ( ( ( ( c D a ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( c D b ) e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) ) -> ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
86	47, 49, 75, 85	syl21anc 1215	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
87	43, 52, 55, 72, 86	xrletrd 9595	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
88	27	3adantr3 1142	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a ( F o. D ) b ) = ( F ` ( a D b ) ) )
89	8	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
90	45, 46	opelxpd 4572	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> <. c , a >. e. ( X X. X ) )
91		fvco3 5492	. . . . . 6 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ <. c , a >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. c , a >. ) = ( F ` ( D ` <. c , a >. ) ) )
92	89, 90, 91	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. c , a >. ) = ( F ` ( D ` <. c , a >. ) ) )
93		df-ov 5777	. . . . 5 |- ( c ( F o. D ) a ) = ( ( F o. D ) ` <. c , a >. )
94		df-ov 5777	. . . . . 6 |- ( c D a ) = ( D ` <. c , a >. )
95	94	fveq2i 5424	. . . . 5 |- ( F ` ( c D a ) ) = ( F ` ( D ` <. c , a >. ) )
96	92, 93, 95	3eqtr4g 2197	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c ( F o. D ) a ) = ( F ` ( c D a ) ) )
97	45, 48	opelxpd 4572	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> <. c , b >. e. ( X X. X ) )
98		fvco3 5492	. . . . . 6 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ <. c , b >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. c , b >. ) = ( F ` ( D ` <. c , b >. ) ) )
99	89, 97, 98	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. c , b >. ) = ( F ` ( D ` <. c , b >. ) ) )
100		df-ov 5777	. . . . 5 |- ( c ( F o. D ) b ) = ( ( F o. D ) ` <. c , b >. )
101		df-ov 5777	. . . . . 6 |- ( c D b ) = ( D ` <. c , b >. )
102	101	fveq2i 5424	. . . . 5 |- ( F ` ( c D b ) ) = ( F ` ( D ` <. c , b >. ) )
103	99, 100, 102	3eqtr4g 2197	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c ( F o. D ) b ) = ( F ` ( c D b ) ) )
104	96, 103	oveq12d 5792	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( c ( F o. D ) a ) +e ( c ( F o. D ) b ) ) = ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
105	87, 88, 104	3brtr4d 3960	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a ( F o. D ) b ) <_ ( ( c ( F o. D ) a ) +e ( c ( F o. D ) b ) ) )
106	5, 20, 40, 105	isxmetd 12516	1 |- ( ph -> ( F o. D ) e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   <.cop 3530   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   dom cdm 4539   o. ccom 4543   Rel wrel 4544   Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   0cc0 7620   +oocpnf 7797   RR*cxr 7799   <_ cle 7801   +ecxad 9557   [,]cicc 9674   *Metcxmet 12149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-2 8779  df-xadd 9560  df-icc 9678  df-xmet 12157

This theorem is referenced by:  bdxmet  12670