ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqinfti Unicode version

Theorem eqinfti 6528
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eqinfti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
Assertion
Ref Expression
eqinfti  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
Distinct variable groups:    u, A, v, y, z    ph, u, v    u, R, v, y, z    u, B, v, y, z    u, C, v, y, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z)

Proof of Theorem eqinfti
StepHypRef Expression
1 df-inf 6493 . . 3  |- inf ( B ,  A ,  R
)  =  sup ( B ,  A ,  `' R )
2 eqinfti.ti . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
32cnvti 6527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u `' R v  /\  -.  v `' R u ) ) )
43eqsupti 6504 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  ->  sup ( B ,  A ,  `' R
)  =  C ) )
5 vex 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
6 brcnvg 4564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  A  /\  y  e.  _V )  ->  ( C `' R
y  <->  y R C ) )
76bicomd 139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  A  /\  y  e.  _V )  ->  ( y R C  <-> 
C `' R y ) )
85, 7mpan2 416 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  ->  (
y R C  <->  C `' R y ) )
98notbid 625 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  A  ->  ( -.  y R C  <->  -.  C `' R y ) )
109ralbidv 2373 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  ( A. y  e.  B  -.  y R C  <->  A. y  e.  B  -.  C `' R y ) )
11 brcnvg 4564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( y `' R C 
<->  C R y ) )
125, 11mpan 415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  A  ->  (
y `' R C  <-> 
C R y ) )
1312bicomd 139 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  ->  ( C R y  <->  y `' R C ) )
14 vex 2613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
155, 14brcnv 4566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
1615a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  A  ->  (
y `' R z  <-> 
z R y ) )
1716bicomd 139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  A  ->  (
z R y  <->  y `' R z ) )
1817rexbidv 2374 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  ->  ( E. z  e.  B  z R y  <->  E. z  e.  B  y `' R z ) )
1913, 18imbi12d 232 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  A  ->  (
( C R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  <->  ( y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
2019ralbidv 2373 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R y )  <->  A. y  e.  A  ( y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
2110, 20anbi12d 457 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  A  ->  (
( A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2221pm5.32i 442 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )  <->  ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
23 3anass 924 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  <->  ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) ) )
24 3anass 924 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) )  <-> 
( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) ) )
2522, 23, 243bitr4i 210 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  <->  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  (
y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
2625biimpi 118 . . . 4  |-  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  -> 
( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  C `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R C  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
274, 26impel 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )  ->  sup ( B ,  A ,  `' R
)  =  C )
281, 27syl5eq 2127 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) ) )  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  C )
2928ex 113 1  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  A. y  e.  B  -.  y R C  /\  A. y  e.  A  ( C R y  ->  E. z  e.  B  z R
y ) )  -> inf ( B ,  A ,  R )  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   _Vcvv 2610   class class class wbr 3805   `'ccnv 4390   supcsup 6490  infcinf 6491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-cnv 4399  df-iota 4917  df-riota 5520  df-sup 6492  df-inf 6493
This theorem is referenced by:  eqinftid  6529
  Copyright terms: Public domain W3C validator