Theorem eqsupti 6468

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
supmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eqsupti	|- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> sup ( B , A , R ) = C ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   y, B, z   u, R, v, y, z   ph, u, v   y, u, v, C   u, B, v, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   C( z)

Proof of Theorem eqsupti

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmoti.ti	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2	1	adantlr 461	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3		breq1 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( x R y <-> C R y ) )
4	3	notbid 625	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( -. x R y <-> -. C R y ) )
5	4	ralbidv 2369	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( A. y e. B -. x R y <-> A. y e. B -. C R y ) )
6		breq2 3797	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( y R x <-> y R C ) )
7	6	imbi1d 229	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
8	7	ralbidv 2369	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
9	5, 8	anbi12d 457	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) )
10	9	rspcev 2702	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
11	10	3impb 1135	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
12	11	adantl 271	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
13	2, 12	supval2ti 6467	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
14		3simpc 938	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
15	14	adantl 271	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
16		simpr1 945	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> C e. A )
17	2, 12	supeuti 6466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
18	9	riota2 5521	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = C ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = C ) )
20	15, 19	mpbid 145	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = C )
21	13, 20	eqtrd 2114	. 2 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> sup ( B , A , R ) = C )
22	21	ex 113	1 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> sup ( B , A , R ) = C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 920   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   E!wreu 2351   class class class wbr 3793   iota_crio 5498   supcsup 6454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-iota 4897  df-riota 5499  df-sup 6456

This theorem is referenced by:  eqsuptid  6469  eqinfti  6492  maxabs  10233  bezoutlemsup  10542