ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqopab2b Unicode version

Theorem eqopab2b 4042
Description: Equivalence of ordered pair abstraction equality and biconditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
eqopab2b  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  ps }  <->  A. x A. y ( ph  <->  ps )
)

Proof of Theorem eqopab2b
StepHypRef Expression
1 ssopab2b 4039 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y
( ph  ->  ps )
)
2 ssopab2b 4039 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  C_  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<-> 
A. x A. y
( ps  ->  ph )
)
31, 2anbi12i 448 . 2  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ph }  C_  {
<. x ,  y >.  |  ps }  /\  { <. x ,  y >.  |  ps }  C_  { <. x ,  y >.  |  ph } )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y ( ps 
->  ph ) ) )
4 eqss 3015 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  ps }  <->  ( { <. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps }  /\  { <. x ,  y >.  |  ps }  C_  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
5 2albiim 1418 . 2  |-  ( A. x A. y ( ph  <->  ps )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y ( ps  ->  ph ) ) )
63, 4, 53bitr4i 210 1  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  ps }  <->  A. x A. y ( ph  <->  ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1283    = wceq 1285    C_ wss 2974   {copab 3846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-opab 3848
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator