Theorem eqopab2b 4201

Description: Equivalence of ordered pair abstraction equality and biconditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eqopab2b	|- ( { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph <-> ps ) )

Proof of Theorem eqopab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssopab2b 4198	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )
2		ssopab2b 4198	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ps } C_ { <. x , y >. | ph } <-> A. x A. y ( ps -> ph ) )
3	1, 2	anbi12i 455	. 2 |- ( ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } /\ { <. x , y >. | ps } C_ { <. x , y >. | ph } ) <-> ( A. x A. y ( ph -> ps ) /\ A. x A. y ( ps -> ph ) ) )
4		eqss 3112	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ps } <-> ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } /\ { <. x , y >. | ps } C_ { <. x , y >. | ph } ) )
5		2albiim 1464	. 2 |- ( A. x A. y ( ph <-> ps ) <-> ( A. x A. y ( ph -> ps ) /\ A. x A. y ( ps -> ph ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr4i 211	1 |- ( { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   C_ wss 3071   {copab 3988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990

This theorem is referenced by: (None)