Theorem fsumlessfi 11234

Description: A shorter sum of nonnegative terms is no greater than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumge0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fsumge0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
fsumless.4	|- ( ph -> C C_ A )
fsumlessfi.c	|- ( ph -> C e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fsumlessfi	|- ( ph -> sum_ k e. C B <_ sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   C, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumlessfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
2		fsumlessfi.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. Fin )
3		fsumless.4	. . . . 5 |- ( ph -> C C_ A )
4		diffifi 6788	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ C e. Fin /\ C C_ A ) -> ( A \ C ) e. Fin )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1216	. . . 4 |- ( ph -> ( A \ C ) e. Fin )
6		eldifi 3198	. . . . 5 |- ( k e. ( A \ C ) -> k e. A )
7		fsumge0.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
8	6, 7	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ C ) ) -> B e. RR )
9		fsumge0.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
10	6, 9	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ C ) ) -> 0 <_ B )
11	5, 8, 10	fsumge0 11233	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. ( A \ C ) B )
12	3	sselda 3097	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> k e. A )
13	12, 7	syldan 280	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> B e. RR )
14	2, 13	fsumrecl 11175	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. C B e. RR )
15	5, 8	fsumrecl 11175	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( A \ C ) B e. RR )
16	14, 15	addge01d 8300	. . 3 |- ( ph -> ( 0 <_ sum_ k e. ( A \ C ) B <-> sum_ k e. C B <_ ( sum_ k e. C B + sum_ k e. ( A \ C ) B ) ) )
17	11, 16	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. C B <_ ( sum_ k e. C B + sum_ k e. ( A \ C ) B ) )
18		disjdif 3435	. . . 4 |- ( C i^i ( A \ C ) ) = (/)
19	18	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) )
20		undiffi 6813	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ C e. Fin /\ C C_ A ) -> A = ( C u. ( A \ C ) ) )
21	1, 2, 3, 20	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ph -> A = ( C u. ( A \ C ) ) )
22	7	recnd 7799	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
23	19, 21, 1, 22	fsumsplit 11181	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( sum_ k e. C B + sum_ k e. ( A \ C ) B ) )
24	17, 23	breqtrrd 3956	1 |- ( ph -> sum_ k e. C B <_ sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   \ cdif 3068   u. cun 3069   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   RRcr 7624   0cc0 7625   + caddc 7628   <_ cle 7806   sum_csu 11127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7716  ax-resscn 7717  ax-1cn 7718  ax-1re 7719  ax-icn 7720  ax-addcl 7721  ax-addrcl 7722  ax-mulcl 7723  ax-mulrcl 7724  ax-addcom 7725  ax-mulcom 7726  ax-addass 7727  ax-mulass 7728  ax-distr 7729  ax-i2m1 7730  ax-0lt1 7731  ax-1rid 7732  ax-0id 7733  ax-rnegex 7734  ax-precex 7735  ax-cnre 7736  ax-pre-ltirr 7737  ax-pre-ltwlin 7738  ax-pre-lttrn 7739  ax-pre-apti 7740  ax-pre-ltadd 7741  ax-pre-mulgt0 7742  ax-pre-mulext 7743  ax-arch 7744  ax-caucvg 7745

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7807  df-mnf 7808  df-xr 7809  df-ltxr 7810  df-le 7811  df-sub 7940  df-neg 7941  df-reap 8342  df-ap 8349  df-div 8438  df-inn 8726  df-2 8784  df-3 8785  df-4 8786  df-n0 8983  df-z 9060  df-uz 9332  df-q 9417  df-rp 9447  df-ico 9682  df-fz 9796  df-fzo 9925  df-seqfrec 10224  df-exp 10298  df-ihash 10527  df-cj 10619  df-re 10620  df-im 10621  df-rsqrt 10775  df-abs 10776  df-clim 11053  df-sumdc 11128

This theorem is referenced by:  fsumge1  11235  fsum00  11236