Theorem limcresi 12804

Description: Any limit of F is also a limit of the restriction of F. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limcresi	|- ( F lim CC B ) C_ ( ( F |` C ) lim CC B )

Proof of Theorem limcresi

Dummy variables d e u x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 12796	. . . . . . 7 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
2	1	simp1d 993	. . . . . 6 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> F : dom F --> CC )
3	1	simp2d 994	. . . . . 6 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> dom F C_ CC )
4	1	simp3d 995	. . . . . 6 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> B e. CC )
5	2, 3, 4	ellimc3ap 12799	. . . . 5 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) ) ) )
6	5	ibi 175	. . . 4 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) ) )
7		inss1 3296	. . . . . . . . 9 |- ( dom F i^i C ) C_ dom F
8		ssralv 3161	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i C ) C_ dom F -> ( A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) )
10		elinel2 3263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( dom F i^i C ) -> u e. C )
11		fvres 5445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. C -> ( ( F |` C ) ` u ) = ( F ` u ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( dom F i^i C ) -> ( ( F |` C ) ` u ) = ( F ` u ) )
13	12	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ u e. ( dom F i^i C ) ) -> ( ( F |` C ) ` u ) = ( F ` u ) )
14	13	fvoveq1d 5796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ u e. ( dom F i^i C ) ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) = ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) )
15	14	breq1d 3939	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ u e. ( dom F i^i C ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) )
16	15	imbi2d 229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ u e. ( dom F i^i C ) ) -> ( ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) <-> ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) ) )
17	16	biimprd 157	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ u e. ( dom F i^i C ) ) -> ( ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) )
18	17	ralimdva 2499	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) )
19	9, 18	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) )
20	19	reximdv 2533	. . . . . 6 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( E. d e. RR+ A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) )
21	20	ralimdv 2500	. . . . 5 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) )
22	21	anim2d 335	. . . 4 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) ) -> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) ) )
23	6, 22	mpd 13	. . 3 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) )
24		fresin 5301	. . . . 5 |- ( F : dom F --> CC -> ( F |` C ) : ( dom F i^i C ) --> CC )
25	2, 24	syl 14	. . . 4 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( F |` C ) : ( dom F i^i C ) --> CC )
26	7, 3	sstrid 3108	. . . 4 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( dom F i^i C ) C_ CC )
27	25, 26, 4	ellimc3ap 12799	. . 3 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) ) )
28	23, 27	mpbird 166	. 2 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) )
29	28	ssriv 3101	1 |- ( F lim CC B ) C_ ( ( F |` C ) lim CC B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   i^i cin 3070   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   |` cres 4541   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   < clt 7800   - cmin 7933   # cap 8343   RR+crp 9441   abscabs 10769   lim CC climc 12792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pm 6545  df-limced 12794

This theorem is referenced by:  dvidlemap  12829  dvcnp2cntop  12832  dvcoapbr  12840