Theorem lmff 12421

Description: If F converges, there is some upper integer set on which F is a total function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmff.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
lmff.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmff.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
lmff.5	|- ( ph -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )

Assertion

Ref	Expression
lmff	|- ( ph -> E. j e. Z ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> X )

Distinct variable groups:   j, F   j, J   j, M   ph, j   j, X   j, Z

Proof of Theorem lmff

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmff.5	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )
2		eldm2g 4735	. . . . . . 7 |- ( F e. dom ( ~~> t ` J ) -> ( F e. dom ( ~~> t ` J ) <-> E. y <. F , y >. e. ( ~~> t ` J ) ) )
3	2	ibi 175	. . . . . 6 |- ( F e. dom ( ~~> t ` J ) -> E. y <. F , y >. e. ( ~~> t ` J ) )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> E. y <. F , y >. e. ( ~~> t ` J ) )
5		df-br 3930	. . . . . 6 |- ( F ( ~~> t ` J ) y <-> <. F , y >. e. ( ~~> t ` J ) )
6	5	exbii 1584	. . . . 5 |- ( E. y F ( ~~> t ` J ) y <-> E. y <. F , y >. e. ( ~~> t ` J ) )
7	4, 6	sylibr 133	. . . 4 |- ( ph -> E. y F ( ~~> t ` J ) y )
8		lmff.3	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
9		lmcl 12417	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F ( ~~> t ` J ) y ) -> y e. X )
10	8, 9	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) y ) -> y e. X )
11		eleq2 2203	. . . . . . 7 |- ( j = X -> ( y e. j <-> y e. X ) )
12		feq3 5257	. . . . . . . 8 |- ( j = X -> ( ( F |` x ) : x --> j <-> ( F |` x ) : x --> X ) )
13	12	rexbidv 2438	. . . . . . 7 |- ( j = X -> ( E. x e. ran ZZ>= ( F |` x ) : x --> j <-> E. x e. ran ZZ>= ( F |` x ) : x --> X ) )
14	11, 13	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( j = X -> ( ( y e. j -> E. x e. ran ZZ>= ( F |` x ) : x --> j ) <-> ( y e. X -> E. x e. ran ZZ>= ( F |` x ) : x --> X ) ) )
15	8	lmbr 12385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) y <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ y e. X /\ A. j e. J ( y e. j -> E. x e. ran ZZ>= ( F |` x ) : x --> j ) ) ) )
16	15	biimpa 294	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) y ) -> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ y e. X /\ A. j e. J ( y e. j -> E. x e. ran ZZ>= ( F |` x ) : x --> j ) ) )
17	16	simp3d 995	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) y ) -> A. j e. J ( y e. j -> E. x e. ran ZZ>= ( F |` x ) : x --> j ) )
18		toponmax 12195	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
19	8, 18	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. J )
20	19	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) y ) -> X e. J )
21	14, 17, 20	rspcdva 2794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) y ) -> ( y e. X -> E. x e. ran ZZ>= ( F |` x ) : x --> X ) )
22	10, 21	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) y ) -> E. x e. ran ZZ>= ( F |` x ) : x --> X )
23	7, 22	exlimddv 1870	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ran ZZ>= ( F |` x ) : x --> X )
24		uzf 9332	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
25		ffn 5272	. . . 4 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> ZZ>= Fn ZZ )
26		reseq2 4814	. . . . . 6 |- ( x = ( ZZ>= ` j ) -> ( F |` x ) = ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) )
27		id 19	. . . . . 6 |- ( x = ( ZZ>= ` j ) -> x = ( ZZ>= ` j ) )
28	26, 27	feq12d 5262	. . . . 5 |- ( x = ( ZZ>= ` j ) -> ( ( F |` x ) : x --> X <-> ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> X ) )
29	28	rexrn 5557	. . . 4 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. x e. ran ZZ>= ( F |` x ) : x --> X <-> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> X ) )
30	24, 25, 29	mp2b 8	. . 3 |- ( E. x e. ran ZZ>= ( F |` x ) : x --> X <-> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> X )
31	23, 30	sylib 121	. 2 |- ( ph -> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> X )
32		lmff.4	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
33		lmff.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
34	33	rexuz3 10765	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. x e. ( ZZ>= ` j ) ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. X ) <-> E. j e. ZZ A. x e. ( ZZ>= ` j ) ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. X ) ) )
35	32, 34	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. x e. ( ZZ>= ` j ) ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. X ) <-> E. j e. ZZ A. x e. ( ZZ>= ` j ) ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. X ) ) )
36	16	simp1d 993	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) y ) -> F e. ( X ^pm CC ) )
37	7, 36	exlimddv 1870	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
38		pmfun 6562	. . . . . 6 |- ( F e. ( X ^pm CC ) -> Fun F )
39	37, 38	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> Fun F )
40		ffvresb 5583	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> X <-> A. x e. ( ZZ>= ` j ) ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. X ) ) )
41	39, 40	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> X <-> A. x e. ( ZZ>= ` j ) ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. X ) ) )
42	41	rexbidv 2438	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> X <-> E. j e. Z A. x e. ( ZZ>= ` j ) ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. X ) ) )
43	41	rexbidv 2438	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> X <-> E. j e. ZZ A. x e. ( ZZ>= ` j ) ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. X ) ) )
44	35, 42, 43	3bitr4d 219	. 2 |- ( ph -> ( E. j e. Z ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> X <-> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> X ) )
45	31, 44	mpbird 166	1 |- ( ph -> E. j e. Z ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   ~Pcpw 3510   <.cop 3530   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   ran crn 4540   |` cres 4541   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ^pm cpm 6543   CCcc 7621   ZZcz 9057   ZZ>=cuz 9329  TopOnctopon 12180   ~~> tclm 12359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pm 6545  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-inn 8724  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-top 12168  df-topon 12181  df-lm 12362

This theorem is referenced by: (None)