Theorem nn2ge 8753

Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nn2ge	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nn2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaddcl 8740	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )
2		0red 7767	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 e. RR )
3		nnre 8727	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. RR )
4	3	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
5		nngt0 8745	. . . . 5 |- ( B e. NN -> 0 < B )
6	5	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
7	2, 4, 6	ltled 7881	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ B )
8		nnre 8727	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
9	8	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
10	9, 4	addge01d 8295	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )
11	7, 10	mpbid 146	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A <_ ( A + B ) )
12		nngt0 8745	. . . . 5 |- ( A e. NN -> 0 < A )
13	12	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
14	2, 9, 13	ltled 7881	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ A )
15	4, 9	addge02d 8296	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 0 <_ A <-> B <_ ( A + B ) ) )
16	14, 15	mpbid 146	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B <_ ( A + B ) )
17		breq2 3933	. . . 4 |- ( x = ( A + B ) -> ( A <_ x <-> A <_ ( A + B ) ) )
18		breq2 3933	. . . 4 |- ( x = ( A + B ) -> ( B <_ x <-> B <_ ( A + B ) ) )
19	17, 18	anbi12d 464	. . 3 |- ( x = ( A + B ) -> ( ( A <_ x /\ B <_ x ) <-> ( A <_ ( A + B ) /\ B <_ ( A + B ) ) ) )
20	19	rspcev 2789	. 2 |- ( ( ( A + B ) e. NN /\ ( A <_ ( A + B ) /\ B <_ ( A + B ) ) ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )
21	1, 11, 16, 20	syl12anc 1214	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   + caddc 7623   < clt 7800   <_ cle 7801   NNcn 8720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-inn 8721

This theorem is referenced by: (None)