ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn2ge Unicode version

Theorem nn2ge 8138
Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nn2ge  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nn2ge
StepHypRef Expression
1 nnaddcl 8126 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  +  B
)  e.  NN )
2 0red 7182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
3 nnre 8113 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
43adantl 271 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
5 nngt0 8131 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
65adantl 271 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
72, 4, 6ltled 7295 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  B )
8 nnre 8113 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
98adantr 270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
109, 4addge01d 7700 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
117, 10mpbid 145 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  <_  ( A  +  B ) )
12 nngt0 8131 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
1312adantr 270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  A )
142, 9, 13ltled 7295 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  A )
154, 9addge02d 7701 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  <_  A  <->  B  <_  ( A  +  B ) ) )
1614, 15mpbid 145 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  <_  ( A  +  B ) )
17 breq2 3797 . . . 4  |-  ( x  =  ( A  +  B )  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
18 breq2 3797 . . . 4  |-  ( x  =  ( A  +  B )  ->  ( B  <_  x  <->  B  <_  ( A  +  B ) ) )
1917, 18anbi12d 457 . . 3  |-  ( x  =  ( A  +  B )  ->  (
( A  <_  x  /\  B  <_  x )  <-> 
( A  <_  ( A  +  B )  /\  B  <_  ( A  +  B ) ) ) )
2019rspcev 2702 . 2  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  NN  /\  ( A  <_  ( A  +  B )  /\  B  <_  ( A  +  B ) ) )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
211, 11, 16, 20syl12anc 1168 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2350   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   RRcr 7042   0cc0 7043    + caddc 7046    < clt 7215    <_ cle 7216   NNcn 8106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-inn 8107
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator