Theorem nninfalllem1 13203

Description: Lemma for nninfall 13204. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfall.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfall.inf	|- ( ph -> ( Q ` ( x e. om |-> 1o ) ) = 1o )
nninfall.n	|- ( ph -> A. n e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
nninfalllem1.p	|- ( ph -> P e. ℕ∞ )
nninfalllem1.n0	|- ( ph -> ( Q ` P ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfalllem1	|- ( ph -> A. n e. om ( P ` n ) = 1o )

Distinct variable groups:   P, i   Q, n   i, n, ph

Allowed substitution hints:   ph( x)   P( x, n)   Q( x, i)

Proof of Theorem nninfalllem1

Dummy variables f j u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5421	. . . . . 6 |- ( u = v -> ( P ` u ) = ( P ` v ) )
2	1	eqeq1d 2148	. . . . 5 |- ( u = v -> ( ( P ` u ) = 1o <-> ( P ` v ) = 1o ) )
3	2	imbi2d 229	. . . 4 |- ( u = v -> ( ( ph -> ( P ` u ) = 1o ) <-> ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) )
4		fveq2 5421	. . . . . 6 |- ( u = n -> ( P ` u ) = ( P ` n ) )
5	4	eqeq1d 2148	. . . . 5 |- ( u = n -> ( ( P ` u ) = 1o <-> ( P ` n ) = 1o ) )
6	5	imbi2d 229	. . . 4 |- ( u = n -> ( ( ph -> ( P ` u ) = 1o ) <-> ( ph -> ( P ` n ) = 1o ) ) )
7		1n0 6329	. . . . . . . 8 |- 1o =/= (/)
8	7	nesymi 2354	. . . . . . 7 |- -. (/) = 1o
9		nninfalllem1.p	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. ℕ∞ )
10	9	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> P e. ℕ∞ )
11		simplll 522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> u e. om )
12		simplr 519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ph )
13		simpllr 523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) )
14		r19.21v 2509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) <-> ( ph -> A. v e. u ( P ` v ) = 1o ) )
15	13, 14	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( ph -> A. v e. u ( P ` v ) = 1o ) )
16	12, 15	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> A. v e. u ( P ` v ) = 1o )
17		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( P ` u ) = (/) )
18	10, 11, 16, 17	nninfalllemn 13202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> P = ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) )
19	18	fveq2d 5425	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( Q ` P ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) ) )
20		nninfalllem1.n0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` P ) = (/) )
21	20	ad2antlr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( Q ` P ) = (/) )
22		elequ2 1691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = u -> ( i e. n <-> i e. u ) )
23	22	ifbid 3493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = u -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. u , 1o , (/) ) )
24	23	mpteq2dv 4019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = u -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) )
25	24	fveq2d 5425	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = u -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) ) )
26	25	eqeq1d 2148	. . . . . . . . . 10 |- ( n = u -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
27		nninfall.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28	27	ad2antlr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> A. n e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
29	26, 28, 11	rspcdva 2794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. u , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
30	19, 21, 29	3eqtr3d 2180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( P ` u ) = (/) ) -> (/) = 1o )
31	30	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( P ` u ) = (/) -> (/) = 1o ) )
32	8, 31	mtoi 653	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> -. ( P ` u ) = (/) )
33		fveq1 5420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = P -> ( f ` suc j ) = ( P ` suc j ) )
34		fveq1 5420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = P -> ( f ` j ) = ( P ` j ) )
35	33, 34	sseq12d 3128	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = P -> ( ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
36	35	ralbidv 2437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = P -> ( A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) <-> A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
37		df-nninf 7007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. j e. om ( f ` suc j ) C_ ( f ` j ) }
38	36, 37	elrab2 2843	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ℕ∞ <-> ( P e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
39	9, 38	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P e. ( 2o ^m om ) /\ A. j e. om ( P ` suc j ) C_ ( P ` j ) ) )
40	39	simpld 111	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ( 2o ^m om ) )
41		elmapi 6564	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( 2o ^m om ) -> P : om --> 2o )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P : om --> 2o )
43	42	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> P : om --> 2o )
44		simpll 518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> u e. om )
45	43, 44	ffvelrnd 5556	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( P ` u ) e. 2o )
46		elpri 3550	. . . . . . . . 9 |- ( ( P ` u ) e. { (/) , 1o } -> ( ( P ` u ) = (/) \/ ( P ` u ) = 1o ) )
47		df2o3 6327	. . . . . . . . 9 |- 2o = { (/) , 1o }
48	46, 47	eleq2s 2234	. . . . . . . 8 |- ( ( P ` u ) e. 2o -> ( ( P ` u ) = (/) \/ ( P ` u ) = 1o ) )
49	45, 48	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( P ` u ) = (/) \/ ( P ` u ) = 1o ) )
50	49	orcomd 718	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( P ` u ) = 1o \/ ( P ` u ) = (/) ) )
51	32, 50	ecased 1327	. . . . 5 |- ( ( ( u e. om /\ A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( P ` u ) = 1o )
52	51	exp31 361	. . . 4 |- ( u e. om -> ( A. v e. u ( ph -> ( P ` v ) = 1o ) -> ( ph -> ( P ` u ) = 1o ) ) )
53	3, 6, 52	omsinds 4535	. . 3 |- ( n e. om -> ( ph -> ( P ` n ) = 1o ) )
54	53	impcom 124	. 2 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( P ` n ) = 1o )
55	54	ralrimiva 2505	1 |- ( ph -> A. n e. om ( P ` n ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   C_ wss 3071   (/)c0 3363   ifcif 3474   {cpr 3528   |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   2oc2o 6307   ^m cmap 6542  ℕ_∞xnninf 7005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-nninf 7007

This theorem is referenced by:  nninfall  13204