ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordwe Unicode version

Theorem ordwe 4346
Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordwe  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )

Proof of Theorem ordwe
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordfr 4345 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  _E  Fr  A )
2 ordelord 4164 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  z  e.  A )  ->  Ord  z )
323ad2antr3 1106 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )
)  ->  Ord  z )
4 ordtr1 4171 . . . . 5  |-  ( Ord  z  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
5 epel 4075 . . . . . 6  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
6 epel 4075 . . . . . 6  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
75, 6anbi12i 448 . . . . 5  |-  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  <->  ( x  e.  y  /\  y  e.  z )
)
8 epel 4075 . . . . 5  |-  ( x  _E  z  <->  x  e.  z )
94, 7, 83imtr4g 203 . . . 4  |-  ( Ord  z  ->  ( (
x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) )
103, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) )
1110ralrimivvva 2449 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) )
12 df-wetr 4117 . 2  |-  (  _E  We  A  <->  (  _E  Fr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
131, 11, 12sylanbrc 408 1  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    e. wcel 1434   A.wral 2353   class class class wbr 3805    _E cep 4070    Fr wfr 4111    We wwe 4113   Ord word 4145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-setind 4308
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-tr 3896  df-eprel 4072  df-frfor 4114  df-frind 4115  df-wetr 4117  df-iord 4149
This theorem is referenced by:  nnwetri  6461
  Copyright terms: Public domain W3C validator