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Theorem relcoi1 4877
Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
relcoi1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )

Proof of Theorem relcoi1
StepHypRef Expression
1 relfld 4874 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
2 resundi 4653 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) )
3 coeq2 4522 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( (  _I  |`  dom  R )  u.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) ) )
4 coundi 4850 . . . . . . 7  |-  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R )  u.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )
5 resco 4853 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )
6 coi1 4864 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  _I  )  =  R )
7 reseq1 4634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  =  ( R  |`  dom  R
) )
8 resdm 4677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
dom  R )  =  R )
9 eqtr 2073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  |`  dom  R )  /\  ( R  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  R )
10 eqtr 2073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  =  R )
11 resco 4853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )
12 uneq1 3118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  R  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) ) )
13 reseq1 4634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  =  ( R  |`  ran  R
) )
14 eqtr 2073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  =  ( R  |`  ran  R ) )
1514uneq2d 3125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )
16 eqtr 2073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  /\  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )
17 resss 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  |`  ran  R )  C_  R
18 ssequn2 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( R  |`  ran  R ) 
C_  R  <->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  R )
1917, 18mpbi 137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  R
206, 19syl6reqr 2107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  ( R  o.  _I  )
)
21 eqeq1 2062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) 
<->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
2220, 21syl5ibr 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
2316, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  /\  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
2423ex 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  ->  ( ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
2524com3l 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
2615, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
2726ex 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R )  -> 
( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
2827eqcoms 2059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R )  -> 
( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
2928com3l 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  |`  ran  R )  ->  ( Rel  R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
3013, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
316, 30mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3231com3l 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3311, 12, 32mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  R  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
3410, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
3534ex 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3635eqcoms 2059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3736com3l 79 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  R  ->  ( Rel  R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
389, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  |`  dom  R )  /\  ( R  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3938ex 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  |`  dom  R )  ->  (
( R  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
4039com3l 79 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  |`  dom  R )  =  R  ->  ( Rel  R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  |`  dom  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
418, 40mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  |`  dom  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
427, 41syl5com 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
436, 42mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
445, 43mpi 15 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
454, 44syl5eq 2100 . . . . . 6  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
46 eqeq1 2062 . . . . . 6  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  )  <->  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
4745, 46syl5ibr 149 . . . . 5  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
482, 3, 47mp2b 8 . . . 4  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
49 reseq2 4635 . . . . . 6  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  (  _I  |` 
U. U. R )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
5049coeq2d 4526 . . . . 5  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ) )
5150eqeq1d 2064 . . . 4  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
U. U. R ) )  =  ( R  o.  _I  )  <->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
5248, 51syl5ibr 149 . . 3  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( Rel  R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
531, 52mpcom 36 . 2  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
5453, 6eqtrd 2088 1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259    u. cun 2943    C_ wss 2945   U.cuni 3608    _I cid 4053   dom cdm 4373   ran crn 4374    |` cres 4375    o. ccom 4377   Rel wrel 4378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385
This theorem is referenced by: (None)
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