Theorem renepnf 7813

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	|- ( A e. RR -> A =/= +oo )

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 7807	. . . 4 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2405	. . 3 |- -. +oo e. RR
3		eleq1 2202	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A e. RR <-> +oo e. RR ) )
4	2, 3	mtbiri 664	. 2 |- ( A = +oo -> -. A e. RR )
5	4	necon2ai 2362	1 |- ( A e. RR -> A =/= +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   RRcr 7619   +oocpnf 7797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-un 4355  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-uni 3737  df-pnf 7802

This theorem is referenced by:  renepnfd  7816  renfdisj  7824  ltxrlt  7830  xrnepnf  9565  xrlttri3  9583  nltpnft  9597  xrrebnd  9602  rexneg  9613  xrpnfdc  9625  rexadd  9635  xaddnepnf  9641  xaddcom  9644  xaddid1  9645  xnn0xadd0  9650  xnegdi  9651  xpncan  9654  xleadd1a  9656  xltadd1  9659  xsubge0  9664  xposdif  9665  xleaddadd  9670  xrmaxrecl  11024