Theorem renepnf 7820

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 7814	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2405	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2202	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 664	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2362	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ℝcr 7626  +∞cpnf 7804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-un 4355  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-uni 3737  df-pnf 7809

This theorem is referenced by:  renepnfd  7823  renfdisj  7831  ltxrlt  7837  xrnepnf  9572  xrlttri3  9590  nltpnft  9604  xrrebnd  9609  rexneg  9620  xrpnfdc  9632  rexadd  9642  xaddnepnf  9648  xaddcom  9651  xaddid1  9652  xnn0xadd0  9657  xnegdi  9658  xpncan  9661  xleadd1a  9663  xltadd1  9666  xsubge0  9671  xposdif  9672  xleaddadd  9677  xrmaxrecl  11031