ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfnre Unicode version

Theorem pnfnre 7125
Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnre  |- +oo  e/  RR

Proof of Theorem pnfnre
StepHypRef Expression
1 cnex 7062 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
21uniex 4201 . . . . 5  |-  U. CC  e.  _V
3 pwuninel2 5927 . . . . 5  |-  ( U. CC  e.  _V  ->  -.  ~P U. CC  e.  CC )
42, 3ax-mp 7 . . . 4  |-  -.  ~P U. CC  e.  CC
5 df-pnf 7120 . . . . 5  |- +oo  =  ~P U. CC
65eleq1i 2119 . . . 4  |-  ( +oo  e.  CC  <->  ~P U. CC  e.  CC )
74, 6mtbir 606 . . 3  |-  -. +oo  e.  CC
8 recn 7071 . . 3  |-  ( +oo  e.  RR  -> +oo  e.  CC )
97, 8mto 598 . 2  |-  -. +oo  e.  RR
109nelir 2317 1  |- +oo  e/  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1409    e/ wnel 2314   _Vcvv 2574   ~Pcpw 3386   U.cuni 3607   CCcc 6944   RRcr 6945   +oocpnf 7115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-un 4197  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-nel 2315  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-uni 3608  df-pnf 7120
This theorem is referenced by:  renepnf  7131  xrltnr  8801  pnfnlt  8808
  Copyright terms: Public domain W3C validator