ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sbcomxyyz Unicode version

Theorem sbcomxyyz 1862
Description: Version of sbcom 1865 with distinct variable constraints between  x and  y, and  y and  z. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
sbcomxyyz  |-  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph )
Distinct variable groups:    x, y    y,
z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbcomxyyz
StepHypRef Expression
1 ax-bndl 1415 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. x A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
2 ax-ial 1443 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  x  ->  A. z A. z 
z  =  x )
3 drsb1 1696 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
42, 3sbbid 1742 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  z ] ph  <->  [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph ) )
5 drsb1 1696 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  z ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
64, 5bitr3d 183 . . 3  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
7 sbequ12 1670 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph ) )
87sps 1446 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
9 hbae 1622 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  y  ->  A. x A. z 
z  =  y )
10 sbequ12 1670 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  z ] ph ) )
1110sps 1446 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  z ] ph ) )
129, 11sbbid 1742 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
138, 12bitr3d 183 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
14 df-nf 1366 . . . . . 6  |-  ( F/ z  x  =  y  <->  A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
1514albii 1375 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  <->  A. x A. z
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
16 ax-ial 1443 . . . . . . 7  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  ->  A. x A. x F/ z  x  =  y )
17 nfs1v 1831 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [ y  /  x ] ph
1817nfsb 1838 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph
1918a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  ->  F/ x [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph )
2019nfrd 1429 . . . . . . 7  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  ->  A. x [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph ) )
21 nfr 1427 . . . . . . . . 9  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
22 nfnf1 1452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z F/ z  x  =  y
23 nfa1 1450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z A. z  x  =  y
2422, 23nfan 1473 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z ( F/ z  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)
2524nfri 1428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F/ z  x  =  y  /\  A. z  x  =  y )  ->  A. z ( F/ z  x  =  y  /\  A. z  x  =  y ) )
26 nfs1v 1831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph
2726a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F/ z  x  =  y  /\  A. z  x  =  y )  ->  F/ z [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph )
2827nfrd 1429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F/ z  x  =  y  /\  A. z  x  =  y )  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  ->  A. z [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
29 sbequ12 1670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
3029, 7sylan9bb 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  y  /\  z  =  y )  ->  ( ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
3130ex 112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  y  -> 
( ph  <->  [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph ) ) )
3231sps 1446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) ) )
3332adantl 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F/ z  x  =  y  /\  A. z  x  =  y )  ->  ( z  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) ) )
3425, 28, 33sbiedh 1686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F/ z  x  =  y  /\  A. z  x  =  y )  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
3534ex 112 . . . . . . . . 9  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( A. z  x  =  y  ->  ( [ y  /  z ] ph  <->  [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph ) ) )
3621, 35syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( [
y  /  z ]
ph 
<->  [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph ) ) )
3736sps 1446 . . . . . . 7  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  z ]
ph 
<->  [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph ) ) )
3816, 20, 37sbiedh 1686 . . . . . 6  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph ) )
3938bicomd 133 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
4015, 39sylbir 129 . . . 4  |-  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
4113, 40jaoi 646 . . 3  |-  ( ( A. z  z  =  y  \/  A. x A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
426, 41jaoi 646 . 2  |-  ( ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. x A. z
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )  ->  ( [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph 
<->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
431, 42ax-mp 7 1  |-  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639   A.wal 1257   F/wnf 1365   [wsb 1661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-nf 1366  df-sb 1662
This theorem is referenced by:  sbco3xzyz  1863
  Copyright terms: Public domain W3C validator