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Theorem supmoti 6465
Description: Any class  B has at most one supremum in  A (where  R is interpreted as 'less than'). The hypothesis is satisfied by real numbers (see lttri3 7258) or other orders which correspond to tight apartnesses. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
supmoti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
Assertion
Ref Expression
supmoti  |-  ( ph  ->  E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, v, x    y, A, x, z    x, B, y, z    u, R, v, x    y, R, z    ph, u, v, x
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( v, u)

Proof of Theorem supmoti
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 262 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  <->  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  B  -.  x R y ) )
21anbi2ci 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  B  -.  x R y ) ) )
3 an42 552 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
4 an42 552 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y ) )  <-> 
( ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  B  -.  x R y ) ) )
52, 3, 43bitr4i 210 . . . . 5  |-  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y ) ) )
6 ralnex 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  -.  E. y  e.  B  x R
y )
7 breq1 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
y R w  <->  x R w ) )
8 breq1 3796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
y R z  <->  x R
z ) )
98rexbidv 2370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( E. z  e.  B  y R z  <->  E. z  e.  B  x R
z ) )
107, 9imbi12d 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( x R w  ->  E. z  e.  B  x R
z ) ) )
1110rspcva 2700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( x R w  ->  E. z  e.  B  x R
z ) )
12 breq2 3797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
x R y  <->  x R
z ) )
1312cbvrexv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  B  x R y  <->  E. z  e.  B  x R
z )
1411, 13syl6ibr 160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( x R w  ->  E. y  e.  B  x R
y ) )
1514con3d 594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( -.  E. y  e.  B  x R y  ->  -.  x R w ) )
166, 15syl5bi 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  ->  -.  x R w ) )
1716expimpd 355 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  ->  -.  x R w ) )
1817ad2antrl 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  ->  -.  x R w ) )
19 ralnex 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  B  -.  w R y  <->  -.  E. y  e.  B  w R
y )
20 breq1 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
y R x  <->  w R x ) )
21 breq1 3796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  (
y R z  <->  w R
z ) )
2221rexbidv 2370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  ( E. z  e.  B  y R z  <->  E. z  e.  B  w R
z ) )
2320, 22imbi12d 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R
z ) ) )
2423rspcva 2700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R
z ) )
25 breq2 3797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
w R y  <->  w R
z ) )
2625cbvrexv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  B  w R y  <->  E. z  e.  B  w R
z )
2724, 26syl6ibr 160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( w R x  ->  E. y  e.  B  w R
y ) )
2827con3d 594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( -.  E. y  e.  B  w R y  ->  -.  w R x ) )
2919, 28syl5bi 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  w R y  ->  -.  w R x ) )
3029expimpd 355 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  A  ->  (
( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  ->  -.  w R x ) )
3130ad2antll 475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  ->  -.  w R x ) )
3218, 31anim12d 328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y ) )  ->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) )
335, 32syl5bi 150 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) )
34 supmoti.ti . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
3534ralrimivva 2444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
36 equequ1 1639 . . . . . . 7  |-  ( u  =  x  ->  (
u  =  v  <->  x  =  v ) )
37 breq1 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  x  ->  (
u R v  <->  x R
v ) )
3837notbid 625 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  ( -.  u R v  <->  -.  x R v ) )
39 breq2 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  x  ->  (
v R u  <->  v R x ) )
4039notbid 625 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  x  ->  ( -.  v R u  <->  -.  v R x ) )
4138, 40anbi12d 457 . . . . . . 7  |-  ( u  =  x  ->  (
( -.  u R v  /\  -.  v R u )  <->  ( -.  x R v  /\  -.  v R x ) ) )
4236, 41bibi12d 233 . . . . . 6  |-  ( u  =  x  ->  (
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <-> 
( x  =  v  <-> 
( -.  x R v  /\  -.  v R x ) ) ) )
43 equequ2 1640 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  (
x  =  v  <->  x  =  w ) )
44 breq2 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  w  ->  (
x R v  <->  x R w ) )
4544notbid 625 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  ( -.  x R v  <->  -.  x R w ) )
46 breq1 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  w  ->  (
v R x  <->  w R x ) )
4746notbid 625 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  ( -.  v R x  <->  -.  w R x ) )
4845, 47anbi12d 457 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  (
( -.  x R v  /\  -.  v R x )  <->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) )
4943, 48bibi12d 233 . . . . . 6  |-  ( v  =  w  ->  (
( x  =  v  <-> 
( -.  x R v  /\  -.  v R x ) )  <-> 
( x  =  w  <-> 
( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) ) )
5042, 49rspc2v 2714 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  ->  ( x  =  w  <->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) ) )
5135, 50mpan9 275 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( x  =  w  <-> 
( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) )
5233, 51sylibrd 167 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  x  =  w ) )
5352ralrimivva 2444 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  x  =  w ) )
54 breq1 3796 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
x R y  <->  w R
y ) )
5554notbid 625 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  ( -.  x R y  <->  -.  w R y ) )
5655ralbidv 2369 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. y  e.  B  -.  w R y ) )
57 breq2 3797 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
y R x  <->  y R w ) )
5857imbi1d 229 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
5958ralbidv 2369 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
6056, 59anbi12d 457 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
6160rmo4 2786 . 2  |-  ( E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  x  =  w ) )
6253, 61sylibr 132 1  |-  ( ph  ->  E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   E*wrmo 2352   class class class wbr 3793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rmo 2357  df-v 2604  df-un 2978  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794
This theorem is referenced by:  supeuti  6466  infmoti  6500
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