Theorem un0addcl 9010

Description: If S is closed under addition, then so is S u. { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	|- ( ph -> S C_ CC )
un0addcl.2	|- T = ( S u. { 0 } )
un0addcl.3	|- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
un0addcl	|- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M + N ) e. T )

Proof of Theorem un0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 |- T = ( S u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2206	. . . 4 |- ( N e. T <-> N e. ( S u. { 0 } ) )
3		elun 3217	. . . 4 |- ( N e. ( S u. { 0 } ) <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
4	2, 3	bitri 183	. . 3 |- ( N e. T <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
5	1	eleq2i 2206	. . . . . 6 |- ( M e. T <-> M e. ( S u. { 0 } ) )
6		elun 3217	. . . . . 6 |- ( M e. ( S u. { 0 } ) <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
7	5, 6	bitri 183	. . . . 5 |- ( M e. T <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
8		ssun1 3239	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( S u. { 0 } )
9	8, 1	sseqtrri 3132	. . . . . . . 8 |- S C_ T
10		un0addcl.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. S )
11	9, 10	sseldi 3095	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. T )
12	11	expr 372	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. S ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ CC )
14	13	sselda 3097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. CC )
15	14	addid2d 7912	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 + N ) = N )
16	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S C_ T )
17	16	sselda 3097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. T )
18	15, 17	eqeltrd 2216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 + N ) e. T )
19		elsni 3545	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. { 0 } -> M = 0 )
20	19	oveq1d 5789	. . . . . . . . 9 |- ( M e. { 0 } -> ( M + N ) = ( 0 + N ) )
21	20	eleq1d 2208	. . . . . . . 8 |- ( M e. { 0 } -> ( ( M + N ) e. T <-> ( 0 + N ) e. T ) )
22	18, 21	syl5ibrcom 156	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( M e. { 0 } -> ( M + N ) e. T ) )
23	22	impancom 258	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. { 0 } ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
24	12, 23	jaodan 786	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. S \/ M e. { 0 } ) ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
25	7, 24	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
26		0cnd 7759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. CC )
27	26	snssd 3665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
28	13, 27	unssd 3252	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
29	1, 28	eqsstrid 3143	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T C_ CC )
30	29	sselda 3097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. CC )
31	30	addid1d 7911	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M + 0 ) = M )
32		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. T )
33	31, 32	eqeltrd 2216	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M + 0 ) e. T )
34		elsni 3545	. . . . . . 7 |- ( N e. { 0 } -> N = 0 )
35	34	oveq2d 5790	. . . . . 6 |- ( N e. { 0 } -> ( M + N ) = ( M + 0 ) )
36	35	eleq1d 2208	. . . . 5 |- ( N e. { 0 } -> ( ( M + N ) e. T <-> ( M + 0 ) e. T ) )
37	33, 36	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. { 0 } -> ( M + N ) e. T ) )
38	25, 37	jaod 706	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( ( N e. S \/ N e. { 0 } ) -> ( M + N ) e. T ) )
39	4, 38	syl5bi 151	. 2 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. T -> ( M + N ) e. T ) )
40	39	impr 376	1 |- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M + N ) e. T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   u. cun 3069   C_ wss 3071   {csn 3527  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   + caddc 7623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777

This theorem is referenced by:  nn0addcl  9012