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Theorem un0addcl 8388
Description: If  S is closed under addition, then so is  S  u.  { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
un0addcl.2  |-  T  =  ( S  u.  {
0 } )
un0addcl.3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  /\  N  e.  S ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
un0addcl  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  T  /\  N  e.  T ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  T )

Proof of Theorem un0addcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5  |-  T  =  ( S  u.  {
0 } )
21eleq2i 2146 . . . 4  |-  ( N  e.  T  <->  N  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
3 elun 3114 . . . 4  |-  ( N  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  ( N  e.  S  \/  N  e.  { 0 } ) )
42, 3bitri 182 . . 3  |-  ( N  e.  T  <->  ( N  e.  S  \/  N  e.  { 0 } ) )
51eleq2i 2146 . . . . . 6  |-  ( M  e.  T  <->  M  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
6 elun 3114 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  ( M  e.  S  \/  M  e.  { 0 } ) )
75, 6bitri 182 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  S  \/  M  e.  { 0 } ) )
8 ssun1 3136 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  ( S  u.  { 0 } )
98, 1sseqtr4i 3033 . . . . . . . 8  |-  S  C_  T
10 un0addcl.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  /\  N  e.  S ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  S )
119, 10sseldi 2998 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  /\  N  e.  S ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  T )
1211expr 367 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  S )  ->  ( N  e.  S  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1413sselda 3000 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  N  e.  CC )
1514addid2d 7325 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  (
0  +  N )  =  N )
169a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
1716sselda 3000 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  N  e.  T )
1815, 17eqeltrd 2156 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  (
0  +  N )  e.  T )
19 elsni 3424 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  { 0 }  ->  M  =  0 )
2019oveq1d 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  =  ( 0  +  N ) )
2120eleq1d 2148 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  { 0 }  ->  ( ( M  +  N )  e.  T  <->  ( 0  +  N )  e.  T
) )
2218, 21syl5ibrcom 155 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  S )  ->  ( M  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  e.  T
) )
2322impancom 256 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  { 0 } )  -> 
( N  e.  S  ->  ( M  +  N
)  e.  T ) )
2412, 23jaodan 744 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  S  \/  M  e.  { 0 } ) )  ->  ( N  e.  S  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
257, 24sylan2b 281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( N  e.  S  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
26 0cnd 7174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
2726snssd 3538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  CC )
2813, 27unssd 3149 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
291, 28syl5eqss 3044 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  C_  CC )
3029sselda 3000 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  M  e.  CC )
3130addid1d 7324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( M  +  0 )  =  M )
32 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  M  e.  T )
3331, 32eqeltrd 2156 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( M  +  0 )  e.  T )
34 elsni 3424 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { 0 }  ->  N  =  0 )
3534oveq2d 5559 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  =  ( M  +  0 ) )
3635eleq1d 2148 . . . . 5  |-  ( N  e.  { 0 }  ->  ( ( M  +  N )  e.  T  <->  ( M  + 
0 )  e.  T
) )
3733, 36syl5ibrcom 155 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( N  e.  { 0 }  ->  ( M  +  N )  e.  T
) )
3825, 37jaod 670 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  (
( N  e.  S  \/  N  e.  { 0 } )  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
394, 38syl5bi 150 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  T )  ->  ( N  e.  T  ->  ( M  +  N )  e.  T ) )
4039impr 371 1  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  T  /\  N  e.  T ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434    u. cun 2972    C_ wss 2974   {csn 3406  (class class class)co 5543   CCcc 7041   0cc0 7043    + caddc 7046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-1cn 7131  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546
This theorem is referenced by:  nn0addcl  8390
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