Theorem 0mnnnnn0 9009

Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0mnnnnn0	|- ( N e. NN -> ( 0 - N ) e/ NN0 )

Proof of Theorem 0mnnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7766	. . 3 |- 0 e. RR
2		df-neg 7936	. . . . . 6 |- -u N = ( 0 - N )
3	2	eqcomi 2143	. . . . 5 |- ( 0 - N ) = -u N
4	3	eleq1i 2205	. . . 4 |- ( ( 0 - N ) e. NN0 <-> -u N e. NN0 )
5		nn0ge0 9002	. . . . 5 |- ( -u N e. NN0 -> 0 <_ -u N )
6		nnre 8727	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
7	6	le0neg1d 8279	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 <-> 0 <_ -u N ) )
8		nngt0 8745	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
9		0red 7767	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
10	6, 9	lenltd 7880	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 <-> -. 0 < N ) )
11		pm2.21 606	. . . . . . . 8 |- ( -. 0 < N -> ( 0 < N -> -. 0 e. RR ) )
12	10, 11	syl6bi 162	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( 0 < N -> -. 0 e. RR ) ) )
13	8, 12	mpid 42	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> -. 0 e. RR ) )
14	7, 13	sylbird 169	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 <_ -u N -> -. 0 e. RR ) )
15	5, 14	syl5 32	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( -u N e. NN0 -> -. 0 e. RR ) )
16	4, 15	syl5bi 151	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( 0 - N ) e. NN0 -> -. 0 e. RR ) )
17	1, 16	mt2i 633	. 2 |- ( N e. NN -> -. ( 0 - N ) e. NN0 )
18		df-nel 2404	. 2 |- ( ( 0 - N ) e/ NN0 <-> -. ( 0 - N ) e. NN0 )
19	17, 18	sylibr 133	1 |- ( N e. NN -> ( 0 - N ) e/ NN0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 1480   e/ wnel 2403   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   -ucneg 7934   NNcn 8720   NN0cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978

This theorem is referenced by: (None)