ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0mnnnnn0 Unicode version

Theorem 0mnnnnn0 8439
Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
0mnnnnn0  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  N )  e/  NN0 )

Proof of Theorem 0mnnnnn0
StepHypRef Expression
1 0re 7233 . . 3  |-  0  e.  RR
2 df-neg 7401 . . . . . 6  |-  -u N  =  ( 0  -  N )
32eqcomi 2087 . . . . 5  |-  ( 0  -  N )  = 
-u N
43eleq1i 2148 . . . 4  |-  ( ( 0  -  N )  e.  NN0  <->  -u N  e.  NN0 )
5 nn0ge0 8432 . . . . 5  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u N )
6 nnre 8165 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
76le0neg1d 7737 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  <->  0  <_  -u N ) )
8 nngt0 8183 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
9 0red 7234 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
106, 9lenltd 7346 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  <->  -.  0  <  N ) )
11 pm2.21 580 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0  <  N  -> 
( 0  <  N  ->  -.  0  e.  RR ) )
1210, 11syl6bi 161 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  (
0  <  N  ->  -.  0  e.  RR ) ) )
138, 12mpid 41 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  -.  0  e.  RR )
)
147, 13sylbird 168 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <_  -u N  ->  -.  0  e.  RR ) )
155, 14syl5 32 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u N  e.  NN0  ->  -.  0  e.  RR ) )
164, 15syl5bi 150 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  -  N
)  e.  NN0  ->  -.  0  e.  RR ) )
171, 16mt2i 606 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( 0  -  N
)  e.  NN0 )
18 df-nel 2345 . 2  |-  ( ( 0  -  N )  e/  NN0  <->  -.  ( 0  -  N )  e. 
NN0 )
1917, 18sylibr 132 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  N )  e/  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1434    e/ wnel 2344   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   RRcr 7094   0cc0 7095    < clt 7267    <_ cle 7268    - cmin 7398   -ucneg 7399   NNcn 8158   NN0cn0 8407
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator