Theorem un0mulcl 9011

Description: If S is closed under multiplication, then so is S u. { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	|- ( ph -> S C_ CC )
un0addcl.2	|- T = ( S u. { 0 } )
un0mulcl.3	|- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
un0mulcl	|- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M x. N ) e. T )

Proof of Theorem un0mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 |- T = ( S u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2206	. . . 4 |- ( N e. T <-> N e. ( S u. { 0 } ) )
3		elun 3217	. . . 4 |- ( N e. ( S u. { 0 } ) <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
4	2, 3	bitri 183	. . 3 |- ( N e. T <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
5	1	eleq2i 2206	. . . . . 6 |- ( M e. T <-> M e. ( S u. { 0 } ) )
6		elun 3217	. . . . . 6 |- ( M e. ( S u. { 0 } ) <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
7	5, 6	bitri 183	. . . . 5 |- ( M e. T <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
8		ssun1 3239	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( S u. { 0 } )
9	8, 1	sseqtrri 3132	. . . . . . . 8 |- S C_ T
10		un0mulcl.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. S )
11	9, 10	sseldi 3095	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. T )
12	11	expr 372	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. S ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ CC )
14	13	sselda 3097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. CC )
15	14	mul02d 8154	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 x. N ) = 0 )
16		ssun2 3240	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
17	16, 1	sseqtrri 3132	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } C_ T
18		c0ex 7760	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
19	18	snss 3649	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. T <-> { 0 } C_ T )
20	17, 19	mpbir 145	. . . . . . . . 9 |- 0 e. T
21	15, 20	eqeltrdi 2230	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 x. N ) e. T )
22		elsni 3545	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. { 0 } -> M = 0 )
23	22	oveq1d 5789	. . . . . . . . 9 |- ( M e. { 0 } -> ( M x. N ) = ( 0 x. N ) )
24	23	eleq1d 2208	. . . . . . . 8 |- ( M e. { 0 } -> ( ( M x. N ) e. T <-> ( 0 x. N ) e. T ) )
25	21, 24	syl5ibrcom 156	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( M e. { 0 } -> ( M x. N ) e. T ) )
26	25	impancom 258	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. { 0 } ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
27	12, 26	jaodan 786	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. S \/ M e. { 0 } ) ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
28	7, 27	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
29		0cnd 7759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. CC )
30	29	snssd 3665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
31	13, 30	unssd 3252	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
32	1, 31	eqsstrid 3143	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T C_ CC )
33	32	sselda 3097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. CC )
34	33	mul01d 8155	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M x. 0 ) = 0 )
35	34, 20	eqeltrdi 2230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M x. 0 ) e. T )
36		elsni 3545	. . . . . . 7 |- ( N e. { 0 } -> N = 0 )
37	36	oveq2d 5790	. . . . . 6 |- ( N e. { 0 } -> ( M x. N ) = ( M x. 0 ) )
38	37	eleq1d 2208	. . . . 5 |- ( N e. { 0 } -> ( ( M x. N ) e. T <-> ( M x. 0 ) e. T ) )
39	35, 38	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. { 0 } -> ( M x. N ) e. T ) )
40	28, 39	jaod 706	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( ( N e. S \/ N e. { 0 } ) -> ( M x. N ) e. T ) )
41	4, 40	syl5bi 151	. 2 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. T -> ( M x. N ) e. T ) )
42	41	impr 376	1 |- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M x. N ) e. T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   u. cun 3069   C_ wss 3071   {csn 3527  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   x. cmul 7625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935

This theorem is referenced by:  nn0mulcl  9013