Theorem xmetf 12524

Description: Mapping of the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetf	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )

Proof of Theorem xmetf

Dummy variables x y z e d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4667	. . . . . 6 |- Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2		df-xmet 12162	. . . . . . 7 |- *Met = ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
3	2	releqi 4622	. . . . . 6 |- ( Rel *Met <-> Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
4	1, 3	mpbir 145	. . . . 5 |- Rel *Met
5		relelfvdm 5453	. . . . 5 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
6	4, 5	mpan 420	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
7		isxmet 12519	. . . 4 |- ( X e. dom *Met -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
9	8	ibi 175	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
10	9	simpld 111	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   {crab 2420   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   X. cxp 4537   dom cdm 4539   Rel wrel 4544   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ^m cmap 6542   0cc0 7625   RR*cxr 7804   <_ cle 7806   +ecxad 9562   *Metcxmet 12154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7716  ax-resscn 7717

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7807  df-mnf 7808  df-xr 7809  df-xmet 12162

This theorem is referenced by:  xmetcl  12526  xmetdmdm  12530  xmetpsmet  12543  xmettpos  12544  xmetres2  12553  xmetres  12556  xmeterval  12609  xmeter  12610  xmetresbl  12614  comet  12673  bdxmet  12675  bdbl  12677  txmetcnp  12692