Theorem xrex 9639

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7804	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 7754	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 7818	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 7822	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4133	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 422	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4362	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2212	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   u. cun 3069   {cpr 3528   RRcr 7619   +oocpnf 7797   -oocmnf 7798   RR*cxr 7799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804

This theorem is referenced by:  ixxval  9679  ixxf  9681  ixxex  9682  ispsmet  12492  isxmet  12514  xmetunirn  12527  blfvalps  12554  blex  12556