Theorem xrmaxaddlem 11029

Description: Lemma for xrmaxadd 11030. The case where A is real. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmaxaddlem	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { ( A +e B ) , ( A +e C ) } , RR* , < ) = ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )

Proof of Theorem xrmaxaddlem

Dummy variables f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 9583	. . 3 |- ( ( f e. RR* /\ g e. RR* ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( f e. RR* /\ g e. RR* ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		rexr 7811	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
4		simp1 981	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
5		simp2 982	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B e. RR* )
6		simp3 983	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C e. RR* )
7		xrmaxcl 11021	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
8	5, 6, 7	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
9	4, 8	xaddcld 9667	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
10	3, 9	syl3an1 1249	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
11		elpri 3550	. . . . 5 |- ( x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } -> ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) )
12		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x = ( A +e B ) )
13		xrmax1sup 11022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
14	5, 6, 13	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
15		xleadd2a 9657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR* ) /\ B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
16	5, 8, 4, 14, 15	syl31anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
17	16	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
18	12, 17	eqbrtrd 3950	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
19		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x = ( A +e C ) )
20		xrmax2sup 11023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
21	5, 6, 20	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
22		xleadd2a 9657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR* ) /\ C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
23	6, 8, 4, 21, 22	syl31anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
24	23	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
25	19, 24	eqbrtrd 3950	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
26	18, 25	jaodan 786	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
27	11, 26	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
28	4, 5	xaddcld 9667	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
29	28	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
30	12, 29	eqeltrd 2216	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x e. RR* )
31	4, 6	xaddcld 9667	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* )
32	31	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> ( A +e C ) e. RR* )
33	19, 32	eqeltrd 2216	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x e. RR* )
34	30, 33	jaodan 786	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) ) -> x e. RR* )
35	11, 34	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> x e. RR* )
36	9	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
37		xrlenlt 7829	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* ) -> ( x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> ( x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x ) )
39	27, 38	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x )
40	3, 39	syl3anl1 1264	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x )
41	3	3ad2ant1 1002	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
42	41	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> A e. RR* )
43	42	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> A e. RR* )
44		simpl2 985	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> B e. RR* )
45	44	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> B e. RR* )
46	43, 45	xaddcld 9667	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( A +e B ) e. RR* )
47		prid1g 3627	. . . . 5 |- ( ( A +e B ) e. RR* -> ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
48	46, 47	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
49		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( x +e -e A ) < B )
50		simprl 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> x e. RR* )
51	42	xnegcld 9638	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A e. RR* )
52	50, 51	xaddcld 9667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
53	52	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
54		simpl1 984	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> A e. RR )
55	54	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> A e. RR )
56		xltadd1 9659	. . . . . . 7 |- ( ( ( x +e -e A ) e. RR* /\ B e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) < B <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) ) )
57	53, 45, 55, 56	syl3anc 1216	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) < B <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) ) )
58	49, 57	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) )
59		xnpcan 9655	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
60	50, 54, 59	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
61	60	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
62		xaddcom 9644	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B +e A ) = ( A +e B ) )
63	45, 43, 62	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( B +e A ) = ( A +e B ) )
64	58, 61, 63	3brtr3d 3959	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> x < ( A +e B ) )
65		breq2 3933	. . . . 5 |- ( y = ( A +e B ) -> ( x < y <-> x < ( A +e B ) ) )
66	65	rspcev 2789	. . . 4 |- ( ( ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } /\ x < ( A +e B ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
67	48, 64, 66	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
68	54	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> A e. RR )
69	68, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> A e. RR* )
70		simpl3 986	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> C e. RR* )
71	70	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> C e. RR* )
72	69, 71	xaddcld 9667	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( A +e C ) e. RR* )
73		prid2g 3628	. . . . 5 |- ( ( A +e C ) e. RR* -> ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
74	72, 73	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
75		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( x +e -e A ) < C )
76	52	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
77		xltadd1 9659	. . . . . . 7 |- ( ( ( x +e -e A ) e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) < C <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) ) )
78	76, 71, 68, 77	syl3anc 1216	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) < C <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) ) )
79	75, 78	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) )
80	60	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
81		xaddcom 9644	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( C +e A ) = ( A +e C ) )
82	71, 69, 81	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( C +e A ) = ( A +e C ) )
83	79, 80, 82	3brtr3d 3959	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> x < ( A +e C ) )
84		breq2 3933	. . . . 5 |- ( y = ( A +e C ) -> ( x < y <-> x < ( A +e C ) ) )
85	84	rspcev 2789	. . . 4 |- ( ( ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } /\ x < ( A +e C ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
86	74, 83, 85	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
87		simprr 521	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
88	10	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
89		rexneg 9613	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> -e A = -u A )
90	89	3ad2ant1 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e A = -u A )
91	90	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A = -u A )
92	54	renegcld 8142	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -u A e. RR )
93	91, 92	eqeltrd 2216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A e. RR )
94		xltadd1 9659	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR* /\ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* /\ -e A e. RR ) -> ( x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) ) )
95	50, 88, 93, 94	syl3anc 1216	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) ) )
96	87, 95	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) )
97	3, 8	syl3an1 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
98	97	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
99		xaddcom 9644	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) )
100	42, 98, 99	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) )
101	100	oveq1d 5789	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) = ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) )
102	96, 101	breqtrd 3954	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) )
103		xpncan 9654	. . . . . 6 |- ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) = sup ( { B , C } , RR* , < ) )
104	98, 54, 103	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) = sup ( { B , C } , RR* , < ) )
105	102, 104	breqtrd 3954	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) )
106		xrltmaxsup 11026	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ ( x +e -e A ) e. RR* ) -> ( ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) ) )
107	44, 70, 52, 106	syl3anc 1216	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) ) )
108	105, 107	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) )
109	67, 86, 108	mpjaodan 787	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
110	2, 10, 40, 109	eqsuptid 6884	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { ( A +e B ) , ( A +e C ) } , RR* , < ) = ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   {cpr 3528   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   supcsup 6869   RRcr 7619   RR*cxr 7799   < clt 7800   <_ cle 7801   -ucneg 7934   -ecxne 9556   +ecxad 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771

This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11030