ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zdvdsdc Unicode version
Theorem zdvdsdc 11517
Description: Divisibility of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
zdvdsdc |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M || N )
Proof of Theorem zdvdsdc
StepHypRef Expression
1 simpll 518 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> M e. ZZ )
21znegcld 9178 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> -u M e. ZZ )
3 simpr 109 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> M < 0 )
41zred 9176 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> M e. RR )
54lt0neg1d 8280 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> ( M < 0 <-> 0 < -u M ) )
63, 5mpbid 146 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> 0 < -u M )
7 elnnz 9067 . . . . 5 |- ( -u M e. NN <-> ( -u M e. ZZ /\ 0 < -u M ) )
82, 6, 7sylanbrc 413 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> -u M e. NN )
9 simplr 519 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> N e. ZZ )
10 dvdsdc 11504 . . . 4 |- ( ( -u M e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID -u M || N )
118, 9, 10syl2anc 408 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> DECID -u M || N )
12 negdvdsb 11512 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> -u M || N ) )
1312adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> ( M || N <-> -u M || N ) )
1413dcbid 823 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> (DECID M || N <-> DECID -u M || N ) )
1511, 14mpbird 166 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M < 0 ) -> DECID M || N )
16 0z 9068 . . . . 5 |- 0 e. ZZ
17 zdceq 9129 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
1816, 17mpan2 421 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
1918ad2antlr 480 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> DECID N = 0 )
20 breq1 3932 . . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M || N <-> 0 || N ) )
2120adantl 275 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( M || N <-> 0 || N ) )
22 0dvds 11516 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
2322ad2antlr 480 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
2421, 23bitrd 187 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( M || N <-> N = 0 ) )
2524dcbid 823 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> (DECID M || N <-> DECID N = 0 ) )
2619, 25mpbird 166 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> DECID M || N )
27 simpll 518 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 0 < M ) -> M e. ZZ )
28 simpr 109 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 0 < M ) -> 0 < M )
29 elnnz 9067 . . . 4 |- ( M e. NN <-> ( M e. ZZ /\ 0 < M ) )
3027, 28, 29sylanbrc 413 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 0 < M ) -> M e. NN )
31 simplr 519 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 0 < M ) -> N e. ZZ )
32 dvdsdc 11504 . . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID M || N )
3330, 31, 32syl2anc 408 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ 0 < M ) -> DECID M || N )
34 ztri3or0 9099 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( M < 0 \/ M = 0 \/ 0 < M ) )
3534adantr 274 . 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < 0 \/ M = 0 \/ 0 < M ) )
3615, 26, 33, 35mpjao3dan 1285 1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M || N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 819   \/ w3o 961   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   0cc0 7623   < clt 7803   -ucneg 7937   NNcn 8723   ZZcz 9057   || cdvds 11496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-n0 8981  df-z 9058  df-q 9415  df-rp 9445  df-fl 10046  df-mod 10099  df-dvds 11497
This theorem is referenced by:  lcmval  11747  lcmcllem  11751  lcmledvds  11754  phiprmpw  11901  unennn  11913
  Copyright terms: Public domain W3C validator