Theorem addsin 11454

Description: Sum of sines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
addsin	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) + (sin‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))

Proof of Theorem addsin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 7750	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2	1	halfcld 8969	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
3	2	sincld 11422	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
4		subcl 7966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5	4	halfcld 8969	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
6	5	coscld 11423	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcld 7791	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
8	7	2timesd 8967	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
9		sinadd 11448	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
10	2, 5, 9	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
11		sinsub 11452	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
12	2, 5, 11	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
13	10, 12	oveq12d 5792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = ((((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) + (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))))))
14	2	coscld 11423	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
15	5	sincld 11422	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 7791	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
17	7, 16, 7	ppncand 8118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) + (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
18	13, 17	eqtrd 2172	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
19		halfaddsub 8959	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵))
20	19	simpld 111	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴)
21	20	fveq2d 5425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (sin‘𝐴))
22	19	simprd 113	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵)
23	22	fveq2d 5425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (sin‘𝐵))
24	21, 23	oveq12d 5792	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = ((sin‘𝐴) + (sin‘𝐵)))
25	8, 18, 24	3eqtr2rd 2179	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) + (sin‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7623   + caddc 7628   · cmul 7630   − cmin 7938   / cdiv 8437  2c2 8776  sincsin 11355  cosccos 11356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7716  ax-resscn 7717  ax-1cn 7718  ax-1re 7719  ax-icn 7720  ax-addcl 7721  ax-addrcl 7722  ax-mulcl 7723  ax-mulrcl 7724  ax-addcom 7725  ax-mulcom 7726  ax-addass 7727  ax-mulass 7728  ax-distr 7729  ax-i2m1 7730  ax-0lt1 7731  ax-1rid 7732  ax-0id 7733  ax-rnegex 7734  ax-precex 7735  ax-cnre 7736  ax-pre-ltirr 7737  ax-pre-ltwlin 7738  ax-pre-lttrn 7739  ax-pre-apti 7740  ax-pre-ltadd 7741  ax-pre-mulgt0 7742  ax-pre-mulext 7743  ax-arch 7744  ax-caucvg 7745

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7807  df-mnf 7808  df-xr 7809  df-ltxr 7810  df-le 7811  df-sub 7940  df-neg 7941  df-reap 8342  df-ap 8349  df-div 8438  df-inn 8726  df-2 8784  df-3 8785  df-4 8786  df-n0 8983  df-z 9060  df-uz 9332  df-q 9417  df-rp 9447  df-ico 9682  df-fz 9796  df-fzo 9925  df-seqfrec 10224  df-exp 10298  df-fac 10477  df-bc 10499  df-ihash 10527  df-cj 10619  df-re 10620  df-im 10621  df-rsqrt 10775  df-abs 10776  df-clim 11053  df-sumdc 11128  df-ef 11359  df-sin 11361  df-cos 11362

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