ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 GIF version

Theorem axpre-mulgt0 7019
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 7059. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6963 . 2 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2 elreal 6963 . 2 (𝐵 ∈ ℝ ↔ ∃𝑦R𝑦, 0R⟩ = 𝐵)
3 breq2 3796 . . . 4 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (0 <𝑥, 0R⟩ ↔ 0 < 𝐴))
43anbi1d 446 . . 3 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ((0 <𝑥, 0R⟩ ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 <𝑦, 0R⟩)))
5 oveq1 5547 . . . 4 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩))
65breq2d 3804 . . 3 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (0 < (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) ↔ 0 < (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩)))
74, 6imbi12d 227 . 2 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (((0 <𝑥, 0R⟩ ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) → 0 < (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩)) ↔ ((0 < 𝐴 ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) → 0 < (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩))))
8 breq2 3796 . . . 4 (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → (0 <𝑦, 0R⟩ ↔ 0 < 𝐵))
98anbi2d 445 . . 3 (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → ((0 < 𝐴 ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
10 oveq2 5548 . . . 4 (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 · 𝐵))
1110breq2d 3804 . . 3 (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → (0 < (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩) ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
129, 11imbi12d 227 . 2 (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → (((0 < 𝐴 ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) → 0 < (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩)) ↔ ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))))
13 df-0 6954 . . . . . 6 0 = ⟨0R, 0R
1413breq1i 3799 . . . . 5 (0 <𝑥, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩)
15 ltresr 6973 . . . . 5 (⟨0R, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑥)
1614, 15bitri 177 . . . 4 (0 <𝑥, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑥)
1713breq1i 3799 . . . . 5 (0 <𝑦, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ <𝑦, 0R⟩)
18 ltresr 6973 . . . . 5 (⟨0R, 0R⟩ <𝑦, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑦)
1917, 18bitri 177 . . . 4 (0 <𝑦, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑦)
20 mulgt0sr 6920 . . . 4 ((0R <R 𝑥 ∧ 0R <R 𝑦) → 0R <R (𝑥 ·R 𝑦))
2116, 19, 20syl2anb 279 . . 3 ((0 <𝑥, 0R⟩ ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) → 0R <R (𝑥 ·R 𝑦))
2213a1i 9 . . . . 5 ((𝑥R𝑦R) → 0 = ⟨0R, 0R⟩)
23 mulresr 6972 . . . . 5 ((𝑥R𝑦R) → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 𝑦), 0R⟩)
2422, 23breq12d 3805 . . . 4 ((𝑥R𝑦R) → (0 < (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) ↔ ⟨0R, 0R⟩ < ⟨(𝑥 ·R 𝑦), 0R⟩))
25 ltresr 6973 . . . 4 (⟨0R, 0R⟩ < ⟨(𝑥 ·R 𝑦), 0R⟩ ↔ 0R <R (𝑥 ·R 𝑦))
2624, 25syl6bb 189 . . 3 ((𝑥R𝑦R) → (0 < (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) ↔ 0R <R (𝑥 ·R 𝑦)))
2721, 26syl5ibr 149 . 2 ((𝑥R𝑦R) → ((0 <𝑥, 0R⟩ ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) → 0 < (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩)))
281, 2, 7, 12, 272gencl 2604 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  cop 3406   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  Rcnr 6453  0Rc0r 6454   ·R cmr 6458   <R cltr 6459  cr 6946  0cc0 6947   < cltrr 6951   · cmul 6952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-imp 6625  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-plr 6871  df-mr 6872  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-m1r 6876  df-c 6953  df-0 6954  df-r 6957  df-mul 6959  df-lt 6960
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator