ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brres GIF version

Theorem brres 4646
Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
opelres.1 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
brres (𝐴(𝐶𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐴𝐷))

Proof of Theorem brres
StepHypRef Expression
1 opelres.1 . . 3 𝐵 ∈ V
21opelres 4645 . 2 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶𝐴𝐷))
3 df-br 3793 . 2 (𝐴(𝐶𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶𝐷))
4 df-br 3793 . . 3 (𝐴𝐶𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶)
54anbi1i 439 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐴𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶𝐴𝐷))
62, 3, 53bitr4i 205 1 (𝐴(𝐶𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐴𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wb 102  wcel 1409  Vcvv 2574  cop 3406   class class class wbr 3792  cres 4375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-res 4385
This theorem is referenced by:  dfres2  4686  dfima2  4698  poirr2  4745  cores  4852  resco  4853  rnco  4855  fnres  5043  fvres  5226  nfunsn  5235  1stconst  5870  2ndconst  5871
  Copyright terms: Public domain W3C validator